Номер 1225, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1225, страница 233.

Условие.

1225. К уравнению $2x - 3y = 6$ подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение;

2) имеет бесконечно много решений;

3) не имеет решений.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить количество решений системы линейных уравнений, необходимо проанализировать коэффициенты этих уравнений. Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$

В нашем случае дано первое уравнение $2x - 3y = 6$, где $A_1=2$, $B_1=-3$, $C_1=6$. Мы ищем второе уравнение $A_2x + B_2y = C_2$, которое вместе с первым образует систему, удовлетворяющую заданным условиям.

1) имеет единственное решение

Система уравнений имеет единственное решение, если прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны. Алгебраически это условие для коэффициентов уравнений выражается так:

$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $

Подставляя коэффициенты из нашего уравнения, получаем:

$ \frac{2}{A_2} \neq \frac{-3}{B_2} $

Нам нужно подобрать такие коэффициенты $A_2$ и $B_2$, чтобы это неравенство выполнялось. Значение $C_2$ может быть любым. Например, выберем простое уравнение, где $A_2=1$ и $B_2=1$. Проверим условие: $\frac{2}{1} \neq \frac{-3}{1}$, или $2 \neq -3$. Неравенство верно. В качестве $C_2$ можно взять любое число, например, $5$.

Таким образом, мы можем взять второе уравнение $x+y=5$.

Ответ: например, $x+y=5$.

2) имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое ненулевое число. Алгебраически это условие выражается как пропорциональность всех коэффициентов:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $

Подставляя наши коэффициенты:

$ \frac{2}{A_2} = \frac{-3}{B_2} = \frac{6}{C_2} $

Чтобы найти подходящее второе уравнение, достаточно умножить исходное уравнение $2x - 3y = 6$ на любое число, отличное от нуля. Например, умножим его на $3$:

$ 3 \cdot (2x - 3y) = 3 \cdot 6 $

$ 6x - 9y = 18 $

Здесь $A_2=6$, $B_2=-9$, $C_2=18$. Проверим условие: $\frac{2}{6} = \frac{-3}{-9} = \frac{6}{18}$, что равносильно $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Условие выполнено.

Ответ: например, $6x - 9y = 18$.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных $x$ и $y$ пропорциональны, а свободные члены — нет. Алгебраическое условие:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Подставляя наши коэффициенты:

$ \frac{2}{A_2} = \frac{-3}{B_2} \neq \frac{6}{C_2} $

Чтобы получить такое уравнение, мы можем умножить левую часть исходного уравнения $2x - 3y = 6$ на какое-либо число (например, на 2), а правую часть оставить без изменений или изменить так, чтобы пропорция нарушилась.

Умножим левую часть на 2: $2 \cdot (2x-3y) = 4x-6y$. Теперь нам нужно подобрать $C_2$ так, чтобы $\frac{6}{C_2} \neq \frac{2}{4}$ (или $\frac{1}{2}$). Это означает, что $C_2 \neq 12$. Выберем любое другое значение, например, $C_2=10$.

Получаем второе уравнение $4x - 6y = 10$. Проверим условие: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} \neq \frac{6}{10}$, что равносильно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{3}{5}$. Условие выполнено.

Ответ: например, $4x - 6y = 10$.