Номер 1231, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1231, страница 234.

Условие.

1231. Подберите такие значения m и n, при которых система уравнений

$\begin{cases} x + y = 5, \\ 3x - my = n. \end{cases}$

1) имеет бесконечно много решений;

2) имеет единственное решение;

3) не имеет решений.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим систему линейных уравнений: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - my = n \end{cases}$

Для анализа количества решений системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ используются соотношения между коэффициентами. В нашем случае $a_1=1, b_1=1, c_1=5$ и $a_2=3, b_2=-m, c_2=n$.

1) имеет бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений (прямые) совпадают. Это происходит, когда коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения: $\frac{1}{3} = \frac{1}{-m} = \frac{5}{n}$

Из первой части равенства $\frac{1}{3} = \frac{1}{-m}$ находим $m$: $-m = 3 \implies m = -3$.

Из второй части равенства $\frac{1}{3} = \frac{5}{n}$ находим $n$: $n = 3 \cdot 5 \implies n = 15$.

Следовательно, система имеет бесконечно много решений при $m = -3$ и $n = 15$.

Ответ: $m = -3, n = 15$.

2) имеет единственное решение;

Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, что эквивалентно условию: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Подставим наши значения: $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{-m}$

Это неравенство выполняется, если $-m \neq 3$, то есть $m \neq -3$. При этом значение $n$ может быть любым, так как оно не влияет на наклон прямых.

Ответ: $m \neq -3$, $n$ — любое число.

3) не имеет решений.

Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда выполняется условие: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения: $\frac{1}{3} = \frac{1}{-m} \neq \frac{5}{n}$

Из равенства $\frac{1}{3} = \frac{1}{-m}$ мы уже знаем, что $m = -3$.

Теперь рассмотрим неравенство $\frac{1}{3} \neq \frac{5}{n}$. Оно выполняется, если $n \neq 3 \cdot 5$, то есть $n \neq 15$.

Следовательно, система не имеет решений при $m = -3$ и $n \neq 15$.

Ответ: $m = -3, n \neq 15$.