Номер 1226, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1226, страница 233.

Условие.

1226. К уравнению $x - y = 2$ подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение;

2) имеет бесконечно много решений;

3) не имеет решений.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде: $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $
Количество решений такой системы зависит от соотношения коэффициентов. Нам дано первое уравнение $x - y = 2$, в котором $a_1=1$, $b_1=-1$ и $c_1=2$. Нам нужно подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для трех разных случаев.

1) имеет единственное решение
Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Аналитически это условие выражается как неравенство отношений коэффициентов при переменных:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
Для нашего случая, $\frac{1}{a_2} \neq \frac{-1}{b_2}$. Нам нужно подобрать такое уравнение, чтобы это условие выполнялось. Возьмем, например, уравнение $x + y = 0$. Здесь $a_2=1$, $b_2=1$. Проверим условие:
$\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{1}$, что эквивалентно $1 \neq -1$.
Это верное неравенство. Следовательно, система $ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 0 \end{cases} $ имеет единственное решение.
Ответ: Например, $x + y = 0$.

2) имеет бесконечно много решений
Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
Чтобы получить такое уравнение, достаточно умножить исходное уравнение $x - y = 2$ на любое число, отличное от нуля. Например, умножим на 2:
$2(x - y) = 2 \cdot 2$
$2x - 2y = 4$
В этом уравнении $a_2=2, b_2=-2, c_2=4$. Проверим условие:
$\frac{1}{2} = \frac{-1}{-2} = \frac{2}{4}$
Все отношения равны $\frac{1}{2}$, значит условие выполняется. Система $ \begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 4 \end{cases} $ имеет бесконечно много решений.
Ответ: Например, $2x - 2y = 4$.

3) не имеет решений
Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но это отношение не равно отношению свободных членов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
Для уравнения $x - y = 2$ подберем второе. Возьмем коэффициенты при $x$ и $y$ такими же, как в исходном уравнении ($a_2=1, b_2=-1$), но изменим свободный член, например, на 5. Получим уравнение $x - y = 5$. В этом случае $c_2=5$. Проверим условие:
$\frac{1}{1} = \frac{-1}{-1} \neq \frac{2}{5}$
$1 = 1 \neq 0,4$.
Условие выполняется. Графики уравнений $y = x - 2$ и $y = x - 5$ — это параллельные прямые, которые не пересекаются. Система $ \begin{cases} x - y = 2 \\ x - y = 5 \end{cases} $ не имеет решений.
Ответ: Например, $x - y = 5$.