Номер 1, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1, страница 231.

Условие.

1. В каком случае говорят, что надо решить систему уравнений?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1. Говорят, что надо решить систему уравнений, когда поставлена задача найти все общие решения для нескольких (двух или более) уравнений с несколькими переменными. Это означает, что мы ищем такой набор значений переменных, который при подстановке в каждое из уравнений системы превращает его в верное числовое равенство.

Решением системы уравнений, например, с двумя переменными $x$ и $y$, называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, которая является решением каждого из уравнений системы. Если переменных три ($x, y, z$), то решением будет упорядоченная тройка чисел $(x_0; y_0; z_0)$ и так далее.

Таким образом, решить систему уравнений — это значит найти множество всех её решений или доказать, что решений не существует (в этом случае говорят, что система несовместна).

Рассмотрим пример системы из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Здесь задача состоит в том, чтобы найти такую пару чисел $(x; y)$, которая подходит и для первого, и для второго уравнения. Методом подстановки или сложения можно найти, что решением является пара $(2; 1)$. Проверим это:
Подставляем в первое уравнение: $2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Равенство верное.
Подставляем во второе уравнение: $2 - 1 = 1$. Равенство верное.
Поскольку пара чисел $(2; 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы. С геометрической точки зрения, мы нашли координаты точки пересечения двух прямых, которые заданы этими уравнениями.

Ответ: О необходимости решить систему уравнений говорят тогда, когда требуется найти такие значения переменных, которые одновременно удовлетворяют всем заданным уравнениям, входящим в систему.