Номер 1208, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 27. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1208, страница 225.

Условие.

1208. Решите уравнение:

1) $(x-8)^2 - (x-4)(x+4) = 0;$

2) $(4x-5)(4x+5) - (4x-1)^2 = 9-2x.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x-8)^2 - (x-4)(x+4) = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

Первое слагаемое $(x-8)^2$ раскладывается как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$.

Второе слагаемое $(x-4)(x+4)$ раскладывается как $x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x^2 - 16x + 64) - (x^2 - 16) = 0$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$x^2 - 16x + 64 - x^2 + 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 16x + (64 + 16) = 0$

$-16x + 80 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-16x = -80$

Разделим обе части уравнения на -16, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-80}{-16}$

$x = 5$

Ответ: 5.

2) $(4x-5)(4x+5) - (4x-1)^2 = 9 - 2x$

В левой части уравнения также применим формулы сокращенного умножения: разность квадратов и квадрат разности.

Раскроем скобки:

Выражение $(4x-5)(4x+5)$ по формуле разности квадратов равно $(4x)^2 - 5^2 = 16x^2 - 25$.

Выражение $(4x-1)^2$ по формуле квадрата разности равно $(4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(16x^2 - 25) - (16x^2 - 8x + 1) = 9 - 2x$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:

$16x^2 - 25 - 16x^2 + 8x - 1 = 9 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(16x^2 - 16x^2) + 8x + (-25 - 1) = 9 - 2x$

$8x - 26 = 9 - 2x$

Теперь соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$8x + 2x = 9 + 26$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$10x = 35$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 10:

$x = \frac{35}{10}$

$x = 3,5$

Ответ: 3,5.