Номер 1251, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 29. Решение систем линейных уравнений методом подстановки. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1251, страница 239.

Условие.

1251. Докажите, что значение выражения $2^{4n} - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1251.

Требуется доказать, что значение выражения $2^{4n} - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$. Для этого можно провести доказательство несколькими способами.

Способ 1: Использование алгебраических преобразований

Преобразуем исходное выражение, используя свойство степеней $(a^m)^k = a^{mk}$:

$2^{4n} - 1 = (2^4)^n - 1$

Вычислим значение $2^4$:

$2^4 = 16$

Подставив это значение обратно, получим выражение:

$16^n - 1$

Теперь воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})$. В нашем случае $a = 16$ и $b = 1$:

$16^n - 1^n = (16 - 1)(16^{n-1} + 16^{n-2} \cdot 1 + ... + 1^{n-1})$

$16^n - 1 = 15 \cdot (16^{n-1} + 16^{n-2} + ... + 1)$

Так как $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $(16^{n-1} + 16^{n-2} + ... + 1)$ является суммой целых чисел, и, следовательно, само является целым числом.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения $15 \cdot K$, где $K$ — целое число. Поскольку один из множителей, 15, делится нацело на 5 ($15 = 5 \cdot 3$), то и всё произведение $15 \cdot K$ делится нацело на 5.

Способ 2: Анализ последней цифры числа

Рассмотрим выражение $2^{4n}$, которое мы уже преобразовали к виду $16^n$.

Проанализируем, на какую цифру оканчивается число $16^n$ при любом натуральном $n$:

$16^1 = 16$
$16^2 = 256$
$16^3 = 4096$

Можно заметить, что любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6. Таким образом, число $16^n$ всегда оканчивается на цифру 6.

Тогда разность $16^n - 1$ — это разность между числом, оканчивающимся на 6, и числом 1. Результат такой разности всегда будет числом, оканчивающимся на 5 ($6 - 1 = 5$).

Любое целое число, которое оканчивается на 5, делится нацело на 5. Следовательно, выражение $2^{4n} - 1$ делится на 5.

Оба способа доказывают истинность утверждения.

Ответ: Утверждение доказано, так как выражение $2^{4n} - 1$ можно представить в виде, делящемся на 5 (например, $15 \cdot K$, где $K$ — целое число), при любом натуральном $n$.