Номер 1167, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 27. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1167, страница 222.

Условие.

1167.Постройте график уравнения:

1) $x - y = 4$;

2) $4x + y = 3$;

3) $x - 5y = 5$;

4) $3x + 2y = 6$.

5) $5x - 3y = 21$;

6) $0,2x + \frac{2}{3}y = 1$.

Решение 1.

Решение 5.

1) Для построения графика уравнения $x - y = 4$, которое является линейным, достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этому графику. Графиком является прямая линия.

Сначала выразим переменную y через x:

$y = x - 4$

Теперь найдем две точки, подставив удобные значения x:

• При $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Получаем точку с координатами $(0, -4)$. Это точка пересечения с осью OY.
• При $y = 0$, $x - 0 = 4$, т.е. $x = 4$. Получаем точку с координатами $(4, 0)$. Это точка пересечения с осью OX.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$ и проводим через них прямую. Эта прямая является графиком уравнения $x - y = 4$.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$.

2) Построим график уравнения $4x + y = 3$. Это линейное уравнение, его график — прямая.

Выразим y через x для удобства нахождения точек:

$y = 3 - 4x$

Найдем координаты двух точек:

• При $x = 0$, $y = 3 - 4 \cdot 0 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• При $x = 1$, $y = 3 - 4 \cdot 1 = 3 - 4 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.

Нанеся точки $(0, 3)$ и $(1, -1)$ на систему координат и соединив их прямой, получим искомый график.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(1, -1)$.

3) Построим график уравнения $x - 5y = 5$. Графиком является прямая.

Выразим y через x:

$-5y = 5 - x$

$y = \frac{5 - x}{-5} = \frac{x - 5}{5} = \frac{1}{5}x - 1$

Найдем координаты двух точек, являющихся точками пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{5} \cdot 0 - 1 = -1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -1)$.
• При $y = 0$, $x - 5 \cdot 0 = 5$, т.е. $x = 5$. Точка пересечения с осью OX: $(5, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, -1)$ и $(5, 0)$, мы построим график данного уравнения.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(5, 0)$.

4) Построим график уравнения $3x + 2y = 6$. Это линейное уравнение, его график — прямая.

Выразим y через x:

$2y = 6 - 3x$

$y = \frac{6 - 3x}{2} = 3 - \frac{3}{2}x$

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = 3 - \frac{3}{2} \cdot 0 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• При $y = 0$, $3x + 2 \cdot 0 = 6$, т.е. $3x = 6$, $x = 2$. Получаем точку $(2, 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 0)$.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 0)$.

5) Построим график уравнения $5x - 3y = 21$. Графиком является прямая.

Выразим y через x:

$-3y = 21 - 5x$

$y = \frac{21 - 5x}{-3} = \frac{5x - 21}{3} = \frac{5}{3}x - 7$

Найдем две точки. Для удобства выберем значения x так, чтобы координаты были целыми.

• При $x = 0$, $y = \frac{5}{3} \cdot 0 - 7 = -7$. Получаем точку $(0, -7)$.
• Чтобы избежать дробей, выберем x, кратное 3. Пусть $x = 3$. Тогда $y = \frac{5}{3} \cdot 3 - 7 = 5 - 7 = -2$. Получаем точку $(3, -2)$.

График — это прямая, проходящая через точки $(0, -7)$ и $(3, -2)$.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, -7)$ и $(3, -2)$.

6) Построим график уравнения $0,2x + \frac{2}{3}y = 1$. Это также линейное уравнение.

Для упрощения уравнения избавимся от десятичной и обыкновенной дробей. Представим $0,2$ как $\frac{1}{5}$:

$\frac{1}{5}x + \frac{2}{3}y = 1$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, то есть на 15:

$15 \cdot \left(\frac{1}{5}x\right) + 15 \cdot \left(\frac{2}{3}y\right) = 15 \cdot 1$

$3x + 10y = 15$

Теперь найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $10y = 15$, откуда $y = \frac{15}{10} = 1,5$. Получаем точку $(0; 1,5)$.
• При $y = 0$, $3x = 15$, откуда $x = 5$. Получаем точку $(5, 0)$.

Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(5, 0)$.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(5, 0)$.