Страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое правило называют функцией?

Функцией (или функциональной зависимостью) называют такое правило, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

Ключевым словом в этом определении является «единственный». Это означает, что для одного и того же значения входной величины $x$ не может быть двух или более разных значений выходной величины $y$.

Для обозначения функции принято использовать запись $y = f(x)$. В этой записи:

• $x$ — это независимая переменная, или аргумент. Это «входные данные» для функции.
• $y$ (или $f(x)$) — это зависимая переменная, или значение функции. Это «выходные данные» или результат, который мы получаем после применения правила $f$ к аргументу $x$.
• $f$ — это само правило соответствия, которое определяет, как именно из $x$ получить $y$.

Например, зависимость периметра равностороннего треугольника $P$ от длины его стороны $a$ является функцией. Эту функцию можно задать формулой $P(a) = 3a$. Здесь $a$ — аргумент (длина стороны), а $P$ — значение функции (периметр). Каждому возможному значению длины стороны $a > 0$ соответствует ровно одно значение периметра $P$. Невозможно, чтобы у треугольника с одной и той же длиной стороны было два разных периметра.

Ответ: Функцией называют правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества (называемого областью определения) соответствует единственное значение зависимой переменной (значения функции).

2. Какую зависимость одной переменной от другой называют функциональной?

Функциональной зависимостью (или просто функцией) называют такую зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению независимой переменной $x$ из некоторого множества соответствует единственное значение зависимой переменной $y$.

Дадим более подробное объяснение:

• Переменные. В функциональной зависимости участвуют две переменные. Одну из них, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной или аргументом (обычно обозначается как $x$). Другую переменную, значение которой определяется значением аргумента, называют зависимой переменной или значением функции (обычно обозначается как $y$ или $f(x)$).
• Правило соответствия. Зависимость устанавливается с помощью определенного правила или закона (обозначается $f$). Это правило может быть задано формулой (например, $y = 2x + 1$), таблицей, графиком или даже словесным описанием.
• Ключевое условие — единственность. Самое важное в определении функции — это то, что для любого выбранного значения аргумента $x$ из области его определения существует только одно, совершенно конкретное значение функции $y$.

Пример 1 (является функцией): Зависимость $y = x^2$. Какое бы число $x$ мы ни взяли, мы всегда получим только один результат для $y$. Например, если $x = 3$, то $y = 9$. Если $x = -3$, то $y$ всё равно равно $9$. Здесь разным значениям аргумента ($3$ и $-3$) может соответствовать одно и то же значение функции ($9$), но каждому конкретному значению аргумента соответствует строго одно значение функции.

Пример 2 (не является функцией y от x): Зависимость, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 25$ (уравнение окружности). Если мы возьмем $x = 3$, то для $y$ получим два возможных значения: $y = 4$ и $y = -4$. Так как одному значению $x$ соответствует более одного значения $y$, эта зависимость не является функциональной.

Таким образом, функция — это "машина", которая на каждый поданный на вход "аргумент" $x$ выдает ровно один "результат" $y$.

Ответ: Функциональной называют такую зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной (функции).

3. Как читают запись $y=f(x)$?

Запись $y = f(x)$ является фундаментальным обозначением в математике для описания функциональной зависимости. Её чтение и понимание включает несколько аспектов.

1. Дословное прочтение
Наиболее распространённый и прямой способ прочтения этой записи: «Игрек равно эф от икс».

2. Значение каждого символа
Для полного понимания смысла выражения, разберём каждый его компонент:
• $x$ — это независимая переменная, также известная как аргумент функции. Её значение можно выбирать из определённого множества, называемого областью определения функции.
• $f$ — это обозначение самой функции. Функция представляет собой правило или закон, согласно которому каждому значению аргумента $x$ ставится в соответствие единственное значение. Буква $f$ является именем функции (от слова function); для обозначения функций также часто используют буквы $g$, $h$ и другие.
• $f(x)$ — читается как «эф от икс» и обозначает значение функции $f$ в точке $x$. Это тот результат, который получается после применения правила $f$ к конкретному значению $x$.
• $y$ — это зависимая переменная. Её значение напрямую зависит от значения $x$ в соответствии с правилом $f$. Равенство $y = f(x)$ как раз и выражает эту зависимость.

3. Общий смысл выражения
В целом, запись $y = f(x)$ утверждает, что между переменными $y$ и $x$ существует функциональная связь: $y$ является функцией от $x$. Это означает, что для каждого допустимого значения $x$ мы можем однозначно определить значение $y$.
Например, в уравнении $y = x^2 + 5$, роль $f(x)$ играет выражение $x^2 + 5$. Если мы выберем $x = 2$, то значение функции будет $f(2) = 2^2 + 5 = 9$. Следовательно, при $x=2$ значение $y$ будет равно 9.

4. Альтернативные способы прочтения
В разговоре или при объяснении материала могут использоваться и более описательные формулировки, передающие тот же смысл:
• «Игрек есть функция от икс».
• «Значение игрек зависит от икс по закону эф».

Ответ: Запись $y = f(x)$ читается как «игрек равно эф от икс».

4. Что называют аргументом функции?

Аргументом функции (или независимой переменной) называют переменную, от значения которой зависит значение функции.

В математической записи функции, такой как $y = f(x)$, аргументом является переменная $x$. Мы можем выбирать любое значение для $x$ из множества допустимых значений, которое называется областью определения функции. После выбора значения аргумента $x$, мы можем вычислить соответствующее ему значение функции $y$ (или $f(x)$), которое также называют зависимой переменной, так как оно зависит от $x$.

Таким образом, аргумент — это «входные данные» для функции. Мы подставляем значение аргумента в формулу и получаем «выходные данные» — значение функции.

Пример:
Рассмотрим линейную функцию $y = 3x - 2$.
В этой функции $x$ является аргументом.
Если мы возьмем значение аргумента $x=5$, то значение функции будет:
$y = 3 \cdot 5 - 2 = 15 - 2 = 13$.
Если мы возьмем значение аргумента $x=0$, то значение функции будет:
$y = 3 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$.

Ответ: Аргументом функции называют независимую переменную, значение которой определяет соответствующее значение функции. В записи $y=f(x)$ аргументом является $x$.

5. Что такое область определения функции?

Определение области определения функции
Область определения функции — это множество всех значений независимой переменной (аргумента, чаще всего обозначается как $x$), при которых функция имеет смысл, то есть ее значение (обозначается как $y$ или $f(x)$) может быть вычислено в рамках множества действительных чисел.
Иными словами, это все те значения $x$, которые можно подставить в формулу функции, не нарушая математических правил. Область определения функции $f$ обычно обозначается как $D(f)$ или $D(y)$.

Как найти область определения функции
Чтобы найти область определения функции, заданной аналитически (формулой), нужно найти все значения аргумента $x$, для которых выполняемые в формуле операции являются допустимыми. Для этого необходимо исключить значения $x$, которые приводят к "запрещенным" математическим действиям. Основные из них:

• Деление на ноль. Если функция содержит дробь вида $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, то ее знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому необходимо решить условие: $h(x) \neq 0$.
  Пример: для функции $y = \frac{5}{x-7}$, знаменатель $x-7$ не должен быть равен нулю. Отсюда $x-7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$. Область определения: все числа, кроме 7, или $x \in (-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$.
• Корень четной степени. Выражение под корнем четной степени (например, квадратным $\sqrt{\dots}$, корнем 4-й степени $\sqrt[4]{\dots}$ и т.д.) должно быть неотрицательным. Для функции вида $f(x) = \sqrt[2n]{g(x)}$ необходимо решить неравенство: $g(x) \geq 0$.
  Пример: для функции $y = \sqrt{x+2}$, подкоренное выражение $x+2$ должно быть неотрицательным. Отсюда $x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$. Область определения: $x \in [-2; +\infty)$.
• Логарифмическая функция. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для функции вида $f(x) = \log_a(g(x))$ необходимо решить неравенство: $g(x) > 0$.
  Пример: для функции $y = \ln(x-1)$, выражение под знаком логарифма $x-1$ должно быть строго положительным. Отсюда $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Область определения: $x \in (1; +\infty)$.
• Тригонометрические функции с ограничениями. Функции тангенса и котангенса имеют ограничения, так как содержат в своем определении деление.
  - Для $y = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ необходимо, чтобы $\cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
  - Для $y = \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ необходимо, чтобы $\sin(x) \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пример нахождения области определения для сложной функции
Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{x-3}}{x-5}$.
Здесь присутствуют два ограничения, которые должны выполняться одновременно:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен 3, но при этом не равен 5.
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [3; 5) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для нахождения области определения необходимо проанализировать функцию на наличие математических операций с ограничениями (таких как деление, извлечение корня четной степени, логарифмирование) и решить соответствующие неравенства или уравнения, чтобы исключить все "запрещенные" значения аргумента.

6. Что называют значением функции?

В математике значением функции называют значение зависимой переменной (обычно обозначаемой как $y$ или $f(x)$), которое получается при подстановке конкретного значения независимой переменной (аргумента, обычно обозначаемого как $x$) в функциональное правило или формулу.

Если функция задана зависимостью $y = f(x)$, то $x$ — это аргумент или независимая переменная. Мы можем выбирать любое значение $x$ из области определения функции. Соответствующее ему значение $y$ называется значением функции или зависимой переменной, так как оно зависит от выбора $x$.

Чтобы найти значение функции в определённой точке $x_0$, нужно подставить это значение аргумента в формулу, задающую функцию, и выполнить указанные действия. Полученный результат $y_0 = f(x_0)$ и будет искомым значением функции.

Например, рассмотрим функцию $f(x) = 3x - 7$. Чтобы найти значение этой функции при $x = 4$, нужно подставить число 4 вместо $x$ в её формулу:
$f(4) = 3 \cdot 4 - 7 = 12 - 7 = 5$.
Таким образом, число 5 — это значение функции $f(x) = 3x - 7$ при значении аргумента, равном 4.

Ответ: Значением функции является значение зависимой переменной ($y$), которое соответствует заданному значению независимой переменной (аргумента $x$).

7. Как читают запись $f(3) = 6$, и что она означает?

Как читают запись f(3) = 6:
Запись $f(3) = 6$ читается как «эф от трёх равно шести».
Ответ: «Эф от трёх равно шести».

Что она означает:
Эта запись описывает значение функции в определённой точке. В математике функция — это правило, которое каждому элементу из одного множества (аргументу) ставит в соответствие единственный элемент из другого множества (значение функции).
В выражении $f(3) = 6$ необходимо различать следующие компоненты:
• $f$ — это обозначение (имя) функции.
• $3$ — это аргумент функции. Это входное значение, которое подставляется в функцию. В контексте графика функции $y = f(x)$, это значение абсциссы ($x$).
• $6$ — это значение функции при аргументе, равном $3$. Это результат, или выходное значение, которое функция возвращает для входа $3$. В контексте графика, это значение ординаты ($y$).
Таким образом, запись $f(3) = 6$ целиком означает, что для функции $f$ входное значение $3$ соответствует выходному значению $6$. На графике функции $y = f(x)$ это соответствует точке с координатами $(3; 6)$.
Ответ: Запись означает, что значение функции $f$ при аргументе, равном $3$, равно $6$.

8. Что такое область значений функции?

Область значений функции (или множество значений функции) — это совокупность всех значений, которые принимает зависимая переменная (обычно обозначается как $y$) при переборе всех возможных значений независимой переменной (аргумента, обычно $x$) из её области определения.

Если функция задана формулой $y = f(x)$, то её область определения $D(f)$ — это множество всех $x$, для которых выражение $f(x)$ имеет смысл. В свою очередь, область значений $E(f)$ (или $E(y)$) — это множество всех $y$, которые получаются в результате подстановки в функцию всех возможных $x$ из области определения. Формально это записывается так: $E(f) = \{y \mid y = f(x), x \in D(f)\}$.

Рассмотрим несколько примеров:

• Для квадратичной функции $y = x^2$. В неё можно подставить любое действительное число $x$ (область определения $D(f)=\mathbb{R}$). Однако, поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), значения $y$ никогда не будут отрицательными. Следовательно, область значений этой функции — луч $[0; +\infty)$.
• Для тригонометрической функции $y = \cos(x)$. Область определения также является множеством всех действительных чисел ($D(f)=\mathbb{R}$). Известно, что значения косинуса всегда находятся в границах от -1 до 1 включительно. Таким образом, область значений этой функции — отрезок $[-1; 1]$.
• Для функции $y = \sqrt{x-3}$. Область определения — это все $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Значит, $D(f)=[3; +\infty)$. Арифметический квадратный корень также всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, область значений — луч $[0; +\infty)$.

Для нахождения области значений функции используются различные методы:

1. Графический метод. Если построен график функции, то её область значений — это проекция всех точек графика на ось ординат (ось $OY$). Проще говоря, это все значения по вертикали, которые «занимает» график функции.
2. Аналитический метод. Он основан на свойствах функций. Например, можно использовать информацию об ограниченности функции (как у $y = \sin(x)$), о наличии у неё точек минимума или максимума (как у параболы $y = ax^2+bx+c$), или о её непрерывности.
3. Метод обратной функции. Иногда удобно из формулы $y=f(x)$ выразить $x$ через $y$ и найти область определения для полученного выражения относительно переменной $y$. Эта область и будет являться областью значений исходной функции. Например, для $y = \frac{5}{x-2}$, выразим $x$: $y(x-2)=5 \implies yx-2y=5 \implies yx=5+2y \implies x=\frac{5+2y}{y}$. В этом выражении знаменатель не может быть равен нулю, то есть $y \neq 0$. Значит, область значений исходной функции $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция (зависимая переменная $y$) при всех допустимых значениях её аргумента ($x$).

937. Связаны ли между собой периметр равностороннего треугольника и его сторона? Если сторона треугольника равна $a$, а периметр — $P$, то какой формулой задаётся зависимость переменной $P$ от переменной $a$? Является ли эта зависимость функциональной?

Связаны ли между собой периметр равностороннего треугольника и его сторона?
Да, периметр равностороннего треугольника и его сторона связаны между собой. Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины. Периметр — это сумма длин всех сторон. Следовательно, если изменяется длина одной стороны, то изменяются и длины двух других, а значит, и их сумма (периметр). Таким образом, значение периметра напрямую зависит от значения длины стороны.
Ответ: Да, связаны.

Если сторона треугольника равна a, а периметр – P, то какой формулой задаётся зависимость переменной P от переменной a?
Периметр $P$ треугольника — это сумма длин его трех сторон. В равностороннем треугольнике все стороны равны $a$. Поэтому, чтобы найти периметр, нужно сложить длину стороны $a$ три раза:
$P = a + a + a$
Это выражение можно записать в более коротком виде:
$P = 3a$
Эта формула и задает зависимость периметра $P$ от стороны $a$.
Ответ: $P = 3a$.

Является ли эта зависимость функциональной?
Функциональной называется такая зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной (функции).
В нашем случае зависимость задана формулой $P = 3a$. Здесь $a$ — это независимая переменная (аргумент), а $P$ — зависимая переменная (функция). Для любого заданного значения стороны $a$ (причем $a > 0$, так как длина стороны не может быть отрицательной или равной нулю) мы можем вычислить одно-единственное значение периметра $P$. Например, если $a=5$, то $P=15$, и никакое другое значение $P$ получить невозможно.
Поскольку каждому значению $a$ соответствует единственное значение $P$, данная зависимость является функциональной.
Ответ: Да, эта зависимость является функциональной.

938. Связаны ли между собой площадь квадрата и его сторона? Если сторона квадрата равна $a$, а площадь - $S$, то какой формулой задается зависимость переменной $S$ от переменной $a$? Является ли эта зависимость функциональной?

Связаны ли между собой площадь квадрата и его сторона?

Да, площадь квадрата и его сторона — это взаимосвязанные величины. Площадь квадрата напрямую зависит от длины его стороны. При изменении длины стороны квадрата его площадь также однозначно изменяется. Например, при увеличении стороны площадь увеличивается, а при уменьшении — уменьшается.

Ответ: Да, связаны.

Если сторона квадрата равна a, а площадь — S, то какой формулой задаётся зависимость переменной S от переменной a?

Площадь квадрата вычисляется как произведение длины его стороны на саму себя. Если обозначить сторону квадрата переменной $a$, а его площадь — переменной $S$, то зависимость площади от стороны задается следующей формулой: $S = a^2$

Ответ: Зависимость задаётся формулой $S = a^2$.

Является ли эта зависимость функциональной?

Да, эта зависимость является функциональной. Согласно определению, зависимость переменной $y$ от переменной $x$ называется функциональной (или функцией), если каждому значению независимой переменной $x$ соответствует единственное значение зависимой переменной $y$. В нашем случае независимой переменной (аргументом) является сторона квадрата $a$ (причем $a > 0$), а зависимой переменной (функцией) — площадь $S$. Для каждого возможного значения длины стороны $a$ существует только одно, единственное значение площади $S$, которое вычисляется по формуле $S = a^2$. Следовательно, эта зависимость является функциональной.

Ответ: Да, эта зависимость является функциональной.

939. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Как зависит длина пройденного им пути s от времени движения t? Задайте эту зависимость формулой. Является ли эта зависимость функциональной? В случае утвердительного ответа назовите аргумент соответствующей функции.

Зависимость: $s = 60t$

Как зависит длина пройденного им пути s от времени движения t? Задайте эту зависимость формулой.

При движении с постоянной скоростью пройденный путь $s$ прямо пропорционален времени движения $t$. Общая формула, связывающая путь, скорость и время, выглядит так: $s = v \cdot t$, где $v$ — скорость. По условию задачи, скорость автомобиля $v = 60$ км/ч. Подставив это значение в общую формулу, мы получим зависимость пути $s$ от времени $t$ для данного случая: $s = 60t$. В этой формуле путь $s$ измеряется в километрах (км), а время $t$ — в часах (ч).

Ответ: Зависимость пути от времени — прямая пропорциональность, которая задается формулой $s = 60t$.

Является ли эта зависимость функциональной?

Да, эта зависимость является функциональной. По определению, зависимость переменной $y$ от переменной $x$ называется функциональной, если каждому значению $x$ из некоторого множества соответствует единственное значение $y$. В нашем случае, каждому возможному значению времени движения $t$ (независимая переменная) соответствует одно единственное значение пройденного пути $s$ (зависимая переменная), которое вычисляется по формуле $s = 60t$.

Ответ: Да, эта зависимость является функциональной.

В случае утвердительного ответа назовите аргумент соответствующей функции.

В любой функциональной зависимости независимая переменная называется аргументом функции. В нашей зависимости $s = 60t$ значение пройденного пути $s$ зависит от значения времени $t$. Следовательно, время $t$ является независимой переменной, то есть аргументом функции.

Ответ: Аргументом соответствующей функции является время движения $t$.

940. В цистерне было 300 л воды. Через открытый кран каждую минуту из цистерны выливается 2 л воды. Задайте формулой зависимость объёма $V$ воды в цистерне от времени $t$, в течение которого из неё выливается вода. Является ли правило, с помощью которого по значению переменной $t$ находят значение переменной $V$, функцией? В случае утвердительного ответа укажите область определения и область значений этой функции.

Задайте формулой зависимость объёма V воды в цистерне от времени t

Пусть $V$ — это объём воды в цистерне в литрах, а $t$ — время в минутах с момента открытия крана.Изначально в цистерне было 300 литров воды. Каждую минуту из цистерны выливается 2 литра.Объём вылившейся воды за время $t$ составляет $2t$ литров.Чтобы найти объём $V$, оставшийся в цистерне в момент времени $t$, нужно из начального объёма вычесть объём вылившейся воды.Таким образом, формула зависимости имеет вид:

$V(t) = 300 - 2t$

Ответ: $V = 300 - 2t$.

Является ли правило, с помощью которого по значению переменной t находят значение переменной V, функцией?

Да, данное правило является функцией. Согласно определению функции, каждому значению независимой переменной (аргумента) из области определения должно соответствовать единственное значение зависимой переменной. В нашем случае, для любого допустимого значения времени $t$ (аргумента) формула $V = 300 - 2t$ позволяет вычислить одно единственное значение объёма $V$.

Ответ: Да, является.

Укажите область определения и область значений этой функции

Область определения функции (D(V)) — это множество всех допустимых значений аргумента $t$.С физической точки зрения, время не может быть отрицательным, следовательно, $t \ge 0$.Процесс выливания воды будет продолжаться до тех пор, пока в цистерне есть вода, то есть пока объём $V$ не станет равным нулю. Объём не может быть отрицательным, поэтому $V \ge 0$.Решим неравенство:

$300 - 2t \ge 0$

$300 \ge 2t$

$150 \ge t$

Объединяя оба условия ($t \ge 0$ и $t \le 150$), получаем, что время $t$ может принимать значения от 0 до 150 минут включительно.Следовательно, область определения функции: $D(V) = [0; 150]$.

Область значений функции (E(V)) — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $V$.Найдём значения объёма на границах области определения:При $t = 0$ (начальный момент): $V = 300 - 2 \cdot 0 = 300$ л.При $t = 150$ (момент полного опустошения): $V = 300 - 2 \cdot 150 = 300 - 300 = 0$ л.Так как $V(t)$ — это непрерывная линейная функция, она принимает все значения между своим минимумом и максимумом.Следовательно, область значений функции: $E(V) = [0; 300]$.

Ответ: Область определения $D(V) = [0; 150]$; область значений $E(V) = [0; 300]$.