Страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

930. Вычислите значение $y$ по формуле $y = 0.2x - 3$, если:

1) $x = 4$;

2) $x = -3$.

1) Чтобы вычислить значение y, подставим в формулу $y = 0,2x - 3$ значение $x = 4$.

Получаем:

$y = 0,2 \cdot 4 - 3$

Сначала выполняем умножение:

$0,2 \cdot 4 = 0,8$

Затем выполняем вычитание:

$y = 0,8 - 3 = -2,2$

Ответ: -2,2

2) Чтобы вычислить значение y, подставим в формулу $y = 0,2x - 3$ значение $x = -3$.

Получаем:

$y = 0,2 \cdot (-3) - 3$

Сначала выполняем умножение:

$0,2 \cdot (-3) = -0,6$

Затем выполняем вычитание:

$y = -0,6 - 3 = -3,6$

Ответ: -3,6

931. Найдите координаты точек A, B, C, D, E, F, K, M, N, изображённых на рисунке 25.

Рис. 25

A: $ (2;2) $

B: $ (4;1) $

C: $ (0;-3) $

D: $ (2;-2) $

E: $ (-1;-1) $

F: $ (-3;0) $

K: $ (-3;3) $

M: $ (-2;2) $

N: $ (-2;-2) $

A Чтобы найти координаты точки A, нужно определить её положение относительно осей координат. Координата по оси $x$ (абсцисса) определяется смещением по горизонтали от начала координат (точки $(0,0)$). Координата по оси $y$ (ордината) — смещением по вертикали. Точка A смещена на 2 единицы вправо по оси $x$ и на 2 единицы вверх по оси $y$.
Ответ: $A(2; 2)$

B Точка B смещена на 4 единицы вправо по оси $x$ и на 1 единицу вверх по оси $y$. Таким образом, её абсцисса равна 4, а ордината равна 1.
Ответ: $B(4; 1)$

C Точка C лежит на оси $y$. Это означает, что её смещение по горизонтали (по оси $x$) равно нулю, поэтому её абсцисса — 0. Точка C находится на 3 единицы ниже начала координат, поэтому её ордината равна -3.
Ответ: $C(0; -3)$

D Чтобы найти координаты точки D, определим её смещение от начала координат. Точка смещена на 2 единицы вправо по оси $x$ (абсцисса равна 2) и на 2 единицы вниз по оси $y$ (ордината равна -2).
Ответ: $D(2; -2)$

E Точка E смещена на 1 единицу влево от начала координат, поэтому её абсцисса равна -1. Она также смещена на 1 единицу вниз, поэтому её ордината равна -1.
Ответ: $E(-1; -1)$

F Точка F лежит на оси $x$. Это означает, что её смещение по вертикали (по оси $y$) равно нулю, поэтому её ордината — 0. Точка F находится на 3 единицы левее начала координат, поэтому её абсцисса равна -3.
Ответ: $F(-3; 0)$

K Точка K смещена на 3 единицы влево по оси $x$ (абсцисса равна -3) и на 3 единицы вверх по оси $y$ (ордината равна 3).
Ответ: $K(-3; 3)$

M Точка M смещена на 2 единицы влево по оси $x$, что дает абсциссу -2. Она смещена на 2 единицы вверх по оси $y$, что дает ординату 2.
Ответ: $M(-2; 2)$

N Точка N смещена на 3 единицы влево по оси $x$ (абсцисса равна -3) и на 2 единицы вниз по оси $y$ (ордината равна -2).
Ответ: $N(-3; -2)$

932. На координатной плоскости отметьте точки: $A (2; 3)$; $B (4; -5)$; $C (-3; 7)$; $D (-2; 2)$; $K (-2; -2)$; $M (0; 2)$; $N (-3; 0)$; $P (1; -6)$; $F (-4; -2)$.

Для того чтобы отметить точки на координатной плоскости, необходимо использовать их координаты $(x; y)$. Первая координата, $x$, называется абсциссой и показывает, на сколько единиц нужно сместиться от начала координат (точки $(0;0)$) по горизонтальной оси (оси Ox). Положительное значение $x$ означает смещение вправо, отрицательное — влево. Вторая координата, $y$, называется ординатой и показывает, на сколько единиц нужно сместиться по вертикальной оси (оси Oy). Положительное значение $y$ означает смещение вверх, отрицательное — вниз.

Следуя этому правилу, отметим заданные точки:

A (2; 3): От начала координат смещаемся на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх параллельно оси Oy.

B (4; -5): От начала координат смещаемся на 4 единицы вправо по оси Ox и на 5 единиц вниз параллельно оси Oy.

C (-3; 7): От начала координат смещаемся на 3 единицы влево по оси Ox и на 7 единиц вверх параллельно оси Oy.

D (-2; 2): От начала координат смещаемся на 2 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вверх параллельно оси Oy.

K (-2; -2): От начала координат смещаемся на 2 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вниз параллельно оси Oy.

M (0; 2): Смещение по оси Ox равно нулю, поэтому точка лежит на оси Oy. Смещаемся на 2 единицы вверх от начала координат.

N (-3; 0): Смещение по оси Oy равно нулю, поэтому точка лежит на оси Ox. Смещаемся на 3 единицы влево от начала координат.

P (1; -6): От начала координат смещаемся на 1 единицу вправо по оси Ox и на 6 единиц вниз параллельно оси Oy.

F (-4; -2): От начала координат смещаемся на 4 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вниз параллельно оси Oy.

Результат представлен на координатной плоскости ниже:

Ответ: Точки $A (2; 3)$, $B (4; -5)$, $C (-3; 7)$, $D (-2; 2)$, $K (-2; -2)$, $M (0; 2)$, $N (-3; 0)$, $P (1; -6)$ и $F (-4; -2)$ отмечены на координатной плоскости, как показано на рисунке выше.

933. Постройте отрезки $AB$ и $CD$ и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если $A (-5; -2)$; $B (1; 4)$; $C (-3; 2)$; $D (2; -3)$.

Постройте отрезки AB и CD

1. В декартовой системе координат на плоскости отметим точки по их заданным координатам:
A (–5; –2)
B (1; 4)
C (–3; 2)
D (2; –3)
2. Соединим прямой линией точки A и B, чтобы получить отрезок AB.
3. Соединим прямой линией точки C и D, чтобы получить отрезок CD.
При построении видно, что отрезки пересекаются. Для точного нахождения координат точки пересечения необходимо провести аналитические вычисления.

Найдите координаты точки пересечения этих отрезков

Точка пересечения отрезков является общей точкой для прямых, содержащих эти отрезки. Найдем уравнения прямых AB и CD, используя каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

1. Составление уравнения прямой AB
Подставим координаты точек A(–5; –2) и B(1; 4) в формулу:
$\frac{x - (-5)}{1 - (-5)} = \frac{y - (-2)}{4 - (-2)}$
$\frac{x + 5}{6} = \frac{y + 2}{6}$
Из этого равенства следует:
$x + 5 = y + 2$
$y = x + 3$

2. Составление уравнения прямой CD
Подставим координаты точек C(–3; 2) и D(2; –3) в формулу:
$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 2}{-3 - 2}$
$\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 2}{-5}$
Умножим обе части уравнения на 5:
$x + 3 = -(y - 2)$
$x + 3 = -y + 2$
$y = -x - 1$

3. Нахождение точки пересечения прямых
Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений для прямых AB и CD:
$\begin{cases} y = x + 3 \\ y = -x - 1 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений:
$x + 3 = -x - 1$
$2x = -4$
$x = -2$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = (-2) + 3$
$y = 1$
Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами (–2; 1).

4. Проверка принадлежности точки отрезкам
Необходимо убедиться, что найденная точка M(–2; 1) принадлежит обоим отрезкам. Для этого ее координаты должны находиться в пределах координат концов каждого отрезка.
Для отрезка AB с концами A(–5; –2) и B(1; 4):
Проверка по оси x: $-5 \le -2 \le 1$ (верно).
Проверка по оси y: $-2 \le 1 \le 4$ (верно).
Следовательно, точка M(–2; 1) лежит на отрезке AB.
Для отрезка CD с концами C(–3; 2) и D(2; –3):
Проверка по оси x: $-3 \le -2 \le 2$ (верно).
Проверка по оси y: $-3 \le 1 \le 2$ (верно).
Следовательно, точка M(–2; 1) лежит на отрезке CD.
Поскольку точка принадлежит обоим отрезкам, она и является точкой их пересечения.

Ответ: (–2; 1).

934. Как расположена на координатной плоскости относительно оси $x$ точка $A$, если:

1) $A(2; 6)$

2) $A(-3; 1)$

3) $A(-4; -5)$

4) $A(-3; 0)$

Чтобы определить, как расположена точка $A(x; y)$ на координатной плоскости относительно оси $x$ (оси абсцисс), нужно посмотреть на знак ее второй координаты — ординаты $y$.

• Если ордината $y > 0$, то точка расположена выше оси $x$.
• Если ордината $y < 0$, то точка расположена ниже оси $x$.
• Если ордината $y = 0$, то точка лежит на оси $x$.

Рассмотрим каждый из предложенных случаев:

1) Дана точка $A(2; 6)$.
Ее ордината $y = 6$. Поскольку $6 > 0$, точка А расположена выше оси $x$.
Ответ: выше оси $x$.

2) Дана точка $A(-3; 1)$.
Ее ордината $y = 1$. Поскольку $1 > 0$, точка А расположена выше оси $x$.
Ответ: выше оси $x$.

3) Дана точка $A(-4; -5)$.
Ее ордината $y = -5$. Поскольку $-5 < 0$, точка А расположена ниже оси $x$.
Ответ: ниже оси $x$.

4) Дана точка $A(-3; 0)$.
Ее ордината $y = 0$. Поскольку ордината равна нулю, точка А лежит на оси $x$.
Ответ: на оси $x$.

935. Найдите координаты вершин квадрата со стороной 4, если две его стороны лежат на осях координат, а произведение координат одной из вершин – положительное число. Сколько решений имеет задача?

Пусть квадрат $ABCD$ имеет сторону длиной 4. По условию, две его стороны лежат на осях координат. Поскольку оси координат перпендикулярны, эти две стороны должны быть смежными. Это означает, что одна из вершин квадрата совпадает с началом координат, то есть с точкой $O(0; 0)$.

Так как сторона квадрата равна 4, то вершины, лежащие на осях, будут удалены от начала координат на расстояние 4. Таким образом, возможны четыре варианта расположения квадрата в координатной плоскости, по одному в каждой координатной четверти.

Дополнительное условие гласит, что произведение координат одной из вершин — положительное число. Пусть координаты вершины равны $(x; y)$. Условие можно записать в виде неравенства $x \cdot y > 0$. Это неравенство выполняется только в том случае, если обе координаты имеют одинаковый знак: либо $x > 0$ и $y > 0$ (I координатная четверть), либо $x < 0$ и $y < 0$ (III координатная четверть).

Рассмотрим все возможные случаи.

1. Квадрат расположен в I координатной четверти. Его вершины: $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; 4)$. Проверим произведение координат для каждой вершины:

• $0 \cdot 0 = 0$
• $4 \cdot 0 = 0$
• $0 \cdot 4 = 0$
• $4 \cdot 4 = 16$. Так как $16 > 0$, это решение удовлетворяет условию.

2. Квадрат расположен во II координатной четверти. Его вершины: $(0; 0)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$ и $(-4; 4)$. Проверим произведение координат для вершины, не лежащей на осях: $-4 \cdot 4 = -16$. Так как $-16 < 0$, это решение не подходит.

3. Квадрат расположен в III координатной четверти. Его вершины: $(0; 0)$, $(-4; 0)$, $(0; -4)$ и $(-4; -4)$. Проверим произведение координат для вершины, не лежащей на осях: $(-4) \cdot (-4) = 16$. Так как $16 > 0$, это решение удовлетворяет условию.

4. Квадрат расположен в IV координатной четверти. Его вершины: $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(0; -4)$ и $(4; -4)$. Проверим произведение координат для вершины, не лежащей на осях: $4 \cdot (-4) = -16$. Так как $-16 < 0$, это решение не подходит.

Таким образом, задача имеет два решения.

Квадрат находится в I координатной четверти.
Ответ: Координаты вершин: $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(0; 4)$, $(4; 4)$.

Квадрат находится в III координатной четверти.
Ответ: Координаты вершин: $(0; 0)$, $(-4; 0)$, $(0; -4)$, $(-4; -4)$.

Ответ: Задача имеет 2 решения.

936. У вкладчика на счёте в банке лежит 1000 рублей. Ему разрешается проводить две операции: снимать со счёта 252 рубля или класть на счёт 222 рубля. Сможет ли он с помощью этих операций добиться того, что на счёте останется 12 рублей?

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяется сумма на счете после каждой операции. Заметим, что обе суммы операций, 252 рубля и 222 рубля, делятся на некоторое общее число. Найдем их наибольший общий делитель (НОД).

Разложим числа 252 и 222 на простые множители:

$252 = 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

$222 = 2 \cdot 111 = 2 \cdot 3 \cdot 37$

Наибольший общий делитель этих чисел равен произведению их общих простых множителей: НОД(252, 222) = $2 \cdot 3 = 6$.

Это означает, что любая из разрешенных операций (снятие 252 рублей или пополнение на 222 рубля) изменяет сумму на счете на число, кратное 6. Следовательно, любое количество таких операций изменит первоначальную сумму также на число, кратное 6. Это свойство является инвариантом: остаток от деления суммы на счете на 6 не должен меняться после любой операции.

Проверим остаток от деления начальной суммы (1000 рублей) на 6:

$1000 \div 6 = 166$ с остатком $4$.

Это можно записать в виде сравнения по модулю: $1000 \equiv 4 \pmod 6$.

Таким образом, любая сумма, которую можно получить на счете, должна также давать остаток 4 при делении на 6.

Теперь проверим, какой остаток дает целевая сумма (12 рублей) при делении на 6:

$12 \div 6 = 2$ с остатком $0$.

То есть, $12 \equiv 0 \pmod 6$.

Поскольку остаток от деления начальной суммы на 6 (равный 4) не совпадает с остатком от деления целевой суммы на 6 (равным 0), то достичь суммы в 12 рублей с помощью указанных операций невозможно.

Ответ: нет, не сможет.