Номер 933, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Понятие множества. Числовые промежутки. Глава 2. Функции - номер 933, страница 162.

Условие.

933. Постройте отрезки $AB$ и $CD$ и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если $A (-5; -2)$; $B (1; 4)$; $C (-3; 2)$; $D (2; -3)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Постройте отрезки AB и CD

1. В декартовой системе координат на плоскости отметим точки по их заданным координатам:
A (–5; –2)
B (1; 4)
C (–3; 2)
D (2; –3)
2. Соединим прямой линией точки A и B, чтобы получить отрезок AB.
3. Соединим прямой линией точки C и D, чтобы получить отрезок CD.
При построении видно, что отрезки пересекаются. Для точного нахождения координат точки пересечения необходимо провести аналитические вычисления.

Найдите координаты точки пересечения этих отрезков

Точка пересечения отрезков является общей точкой для прямых, содержащих эти отрезки. Найдем уравнения прямых AB и CD, используя каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

1. Составление уравнения прямой AB
Подставим координаты точек A(–5; –2) и B(1; 4) в формулу:
$\frac{x - (-5)}{1 - (-5)} = \frac{y - (-2)}{4 - (-2)}$
$\frac{x + 5}{6} = \frac{y + 2}{6}$
Из этого равенства следует:
$x + 5 = y + 2$
$y = x + 3$

2. Составление уравнения прямой CD
Подставим координаты точек C(–3; 2) и D(2; –3) в формулу:
$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 2}{-3 - 2}$
$\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 2}{-5}$
Умножим обе части уравнения на 5:
$x + 3 = -(y - 2)$
$x + 3 = -y + 2$
$y = -x - 1$

3. Нахождение точки пересечения прямых
Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений для прямых AB и CD:
$\begin{cases} y = x + 3 \\ y = -x - 1 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений:
$x + 3 = -x - 1$
$2x = -4$
$x = -2$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = (-2) + 3$
$y = 1$
Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами (–2; 1).

4. Проверка принадлежности точки отрезкам
Необходимо убедиться, что найденная точка M(–2; 1) принадлежит обоим отрезкам. Для этого ее координаты должны находиться в пределах координат концов каждого отрезка.
Для отрезка AB с концами A(–5; –2) и B(1; 4):
Проверка по оси x: $-5 \le -2 \le 1$ (верно).
Проверка по оси y: $-2 \le 1 \le 4$ (верно).
Следовательно, точка M(–2; 1) лежит на отрезке AB.
Для отрезка CD с концами C(–3; 2) и D(2; –3):
Проверка по оси x: $-3 \le -2 \le 2$ (верно).
Проверка по оси y: $-3 \le 1 \le 2$ (верно).
Следовательно, точка M(–2; 1) лежит на отрезке CD.
Поскольку точка принадлежит обоим отрезкам, она и является точкой их пересечения.

Ответ: (–2; 1).