Номер 929, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Понятие множества. Числовые промежутки. Глава 2. Функции - номер 929, страница 161.

Условие.

929. Сколькими нулями оканчивается значение выражения $2^{11} \cdot 3^{12} \cdot 5^{13} \cdot 7^{14}$?

Решение 1.

Решение 5.

Количество нулей, на которое оканчивается число, определяется количеством множителей 10 в его разложении на простые множители. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, нам нужно найти, сколько пар множителей 2 и 5 можно составить из простых множителей данного выражения.

Рассмотрим данное выражение: $2^{11} \cdot 3^{12} \cdot 5^{13} \cdot 7^{14}$.

Это выражение уже представлено в виде произведения степеней простых чисел. Из него мы видим, что:

• множитель 2 входит в разложение 11 раз (из-за множителя $2^{11}$);
• множитель 5 входит в разложение 13 раз (из-за множителя $5^{13}$).

Множители $3^{12}$ и $7^{14}$ не влияют на количество нулей в конце числа, так как они не содержат ни 2, ни 5 в качестве простых делителей.

Для образования каждого нуля в конце числа необходима одна пара множителей (2 и 5). Количество таких пар определяется наименьшим из показателей степеней у чисел 2 и 5. В нашем случае это показатели 11 и 13.

Сравниваем показатели степеней: $\min(11, 13) = 11$.

Это означает, что мы можем сформировать 11 пар множителей $(2 \cdot 5)$, что дает нам $10^{11}$.

Можно представить выражение следующим образом:

$2^{11} \cdot 3^{12} \cdot 5^{13} \cdot 7^{14} = (2^{11} \cdot 5^{11}) \cdot 3^{12} \cdot 5^{2} \cdot 7^{14} = 10^{11} \cdot (3^{12} \cdot 5^{2} \cdot 7^{14})$

Выражение в скобках $3^{12} \cdot 5^{2} \cdot 7^{14}$ является целым числом, которое не оканчивается на ноль, поскольку в его разложении на простые множители нет двоек. Умножение этого числа на $10^{11}$ добавит к нему 11 нулей в конце.

Таким образом, значение выражения оканчивается на 11 нулей.

Ответ: 11