Номер 928, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Понятие множества. Числовые промежутки. Глава 2. Функции - номер 928, страница 161.

Условие.

928. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(7^4)^2}{7^6 \cdot 49}$

2) $\frac{(5^5)^3}{5^{10} \cdot 125}$

3) $\frac{42^8}{36^3 \cdot 7^8}$

4) $\frac{50^3}{4^3 \cdot 5^6}$

5) $\frac{3^{20} + 3^{18} - 2 \cdot 3^{19}}{2^3 \cdot 9^9}$

6) $\frac{2^{48} - 2^{47} + 15 \cdot 2^{46}}{17 \cdot 16^{11}}$

Решение 1.

Решение 5.

1)

Для решения используем свойства степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Сначала упростим числитель:
$(7^4)^2 = 7^{4 \cdot 2} = 7^8$.

Теперь упростим знаменатель. Представим $49$ как степень числа $7$: $49 = 7^2$.
$7^6 \cdot 49 = 7^6 \cdot 7^2 = 7^{6+2} = 7^8$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{7^8}{7^8} = 7^{8-8} = 7^0 = 1$.

Ответ: 1

2)

Упростим числитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^5)^3 = 5^{5 \cdot 3} = 5^{15}$.

Упростим знаменатель. Представим $125$ как степень числа $5$: $125 = 5^3$.
$5^{10} \cdot 125 = 5^{10} \cdot 5^3 = 5^{10+3} = 5^{13}$.

Теперь выполним деление:
$\frac{5^{15}}{5^{13}} = 5^{15-13} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

3)

Разложим основания степеней на простые множители и воспользуемся свойством $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$42 = 6 \cdot 7$, поэтому $42^8 = (6 \cdot 7)^8 = 6^8 \cdot 7^8$.
$36 = 6^2$, поэтому $36^3 = (6^2)^3 = 6^{2 \cdot 3} = 6^6$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{42^8}{36^3 \cdot 7^8} = \frac{6^8 \cdot 7^8}{6^6 \cdot 7^8}$.

Сократим дробь на $7^8$:
$\frac{6^8}{6^6} = 6^{8-6} = 6^2 = 36$.

Ответ: 36

4)

Разложим основания степеней на множители.
Числитель: $50^3 = (2 \cdot 25)^3 = (2 \cdot 5^2)^3 = 2^3 \cdot (5^2)^3 = 2^3 \cdot 5^6$.
Знаменатель: $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$. Знаменатель равен $4^3 \cdot 5^6 = 2^6 \cdot 5^6$.

Подставим в исходное выражение:
$\frac{50^3}{4^3 \cdot 5^6} = \frac{2^3 \cdot 5^6}{2^6 \cdot 5^6}$.

Сократим дробь на $5^6$:
$\frac{2^3}{2^6} = 2^{3-6} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

5)

В числителе вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{18}$:
$3^{20} + 3^{18} - 2 \cdot 3^{19} = 3^{18} \cdot 3^2 + 3^{18} \cdot 1 - 2 \cdot 3^{18} \cdot 3^1 = 3^{18}(3^2 + 1 - 2 \cdot 3) = 3^{18}(9 + 1 - 6) = 3^{18} \cdot 4 = 3^{18} \cdot 2^2$.

В знаменателе представим $9$ как $3^2$:
$2^3 \cdot 9^9 = 2^3 \cdot (3^2)^9 = 2^3 \cdot 3^{18}$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{3^{18} \cdot 2^2}{2^3 \cdot 3^{18}}$.

Сократим дробь на $3^{18}$:
$\frac{2^2}{2^3} = 2^{2-3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

6)

В числителе вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{46}$:
$2^{48} - 2^{47} + 15 \cdot 2^{46} = 2^{46} \cdot 2^2 - 2^{46} \cdot 2^1 + 15 \cdot 2^{46} = 2^{46}(2^2 - 2 + 15) = 2^{46}(4 - 2 + 15) = 2^{46} \cdot 17$.

В знаменателе представим $16$ как $2^4$:
$17 \cdot 16^{11} = 17 \cdot (2^4)^{11} = 17 \cdot 2^{4 \cdot 11} = 17 \cdot 2^{44}$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{2^{46} \cdot 17}{17 \cdot 2^{44}}$.

Сократим дробь на $17$:
$\frac{2^{46}}{2^{44}} = 2^{46-44} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4