Номер 935, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Понятие множества. Числовые промежутки. Глава 2. Функции - номер 935, страница 162.

Условие.

935. Найдите координаты вершин квадрата со стороной 4, если две его стороны лежат на осях координат, а произведение координат одной из вершин – положительное число. Сколько решений имеет задача?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть квадрат $ABCD$ имеет сторону длиной 4. По условию, две его стороны лежат на осях координат. Поскольку оси координат перпендикулярны, эти две стороны должны быть смежными. Это означает, что одна из вершин квадрата совпадает с началом координат, то есть с точкой $O(0; 0)$.

Так как сторона квадрата равна 4, то вершины, лежащие на осях, будут удалены от начала координат на расстояние 4. Таким образом, возможны четыре варианта расположения квадрата в координатной плоскости, по одному в каждой координатной четверти.

Дополнительное условие гласит, что произведение координат одной из вершин — положительное число. Пусть координаты вершины равны $(x; y)$. Условие можно записать в виде неравенства $x \cdot y > 0$. Это неравенство выполняется только в том случае, если обе координаты имеют одинаковый знак: либо $x > 0$ и $y > 0$ (I координатная четверть), либо $x < 0$ и $y < 0$ (III координатная четверть).

Рассмотрим все возможные случаи.

1. Квадрат расположен в I координатной четверти. Его вершины: $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; 4)$. Проверим произведение координат для каждой вершины:

• $0 \cdot 0 = 0$
• $4 \cdot 0 = 0$
• $0 \cdot 4 = 0$
• $4 \cdot 4 = 16$. Так как $16 > 0$, это решение удовлетворяет условию.

2. Квадрат расположен во II координатной четверти. Его вершины: $(0; 0)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$ и $(-4; 4)$. Проверим произведение координат для вершины, не лежащей на осях: $-4 \cdot 4 = -16$. Так как $-16 < 0$, это решение не подходит.

3. Квадрат расположен в III координатной четверти. Его вершины: $(0; 0)$, $(-4; 0)$, $(0; -4)$ и $(-4; -4)$. Проверим произведение координат для вершины, не лежащей на осях: $(-4) \cdot (-4) = 16$. Так как $16 > 0$, это решение удовлетворяет условию.

4. Квадрат расположен в IV координатной четверти. Его вершины: $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(0; -4)$ и $(4; -4)$. Проверим произведение координат для вершины, не лежащей на осях: $4 \cdot (-4) = -16$. Так как $-16 < 0$, это решение не подходит.

Таким образом, задача имеет два решения.

Решение 1

Квадрат находится в I координатной четверти.
Ответ: Координаты вершин: $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(0; 4)$, $(4; 4)$.

Решение 2

Квадрат находится в III координатной четверти.
Ответ: Координаты вершин: $(0; 0)$, $(-4; 0)$, $(0; -4)$, $(-4; -4)$.

Сколько решений имеет задача?

Ответ: Задача имеет 2 решения.