Номер 5, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 22. Связи между величинами. Функция. Глава 2. Функции - номер 5, страница 166.

Условие.

5. Что такое область определения функции?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Определение области определения функции
Область определения функции — это множество всех значений независимой переменной (аргумента, чаще всего обозначается как $x$), при которых функция имеет смысл, то есть ее значение (обозначается как $y$ или $f(x)$) может быть вычислено в рамках множества действительных чисел.
Иными словами, это все те значения $x$, которые можно подставить в формулу функции, не нарушая математических правил. Область определения функции $f$ обычно обозначается как $D(f)$ или $D(y)$.

Как найти область определения функции
Чтобы найти область определения функции, заданной аналитически (формулой), нужно найти все значения аргумента $x$, для которых выполняемые в формуле операции являются допустимыми. Для этого необходимо исключить значения $x$, которые приводят к "запрещенным" математическим действиям. Основные из них:

• Деление на ноль. Если функция содержит дробь вида $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, то ее знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому необходимо решить условие: $h(x) \neq 0$.
  Пример: для функции $y = \frac{5}{x-7}$, знаменатель $x-7$ не должен быть равен нулю. Отсюда $x-7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$. Область определения: все числа, кроме 7, или $x \in (-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$.
• Корень четной степени. Выражение под корнем четной степени (например, квадратным $\sqrt{\dots}$, корнем 4-й степени $\sqrt[4]{\dots}$ и т.д.) должно быть неотрицательным. Для функции вида $f(x) = \sqrt[2n]{g(x)}$ необходимо решить неравенство: $g(x) \geq 0$.
  Пример: для функции $y = \sqrt{x+2}$, подкоренное выражение $x+2$ должно быть неотрицательным. Отсюда $x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$. Область определения: $x \in [-2; +\infty)$.
• Логарифмическая функция. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для функции вида $f(x) = \log_a(g(x))$ необходимо решить неравенство: $g(x) > 0$.
  Пример: для функции $y = \ln(x-1)$, выражение под знаком логарифма $x-1$ должно быть строго положительным. Отсюда $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Область определения: $x \in (1; +\infty)$.
• Тригонометрические функции с ограничениями. Функции тангенса и котангенса имеют ограничения, так как содержат в своем определении деление.
  - Для $y = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ необходимо, чтобы $\cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
  - Для $y = \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ необходимо, чтобы $\sin(x) \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пример нахождения области определения для сложной функции
Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{x-3}}{x-5}$.
Здесь присутствуют два ограничения, которые должны выполняться одновременно:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен 3, но при этом не равен 5.
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [3; 5) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для нахождения области определения необходимо проанализировать функцию на наличие математических операций с ограничениями (таких как деление, извлечение корня четной степени, логарифмирование) и решить соответствующие неравенства или уравнения, чтобы исключить все "запрещенные" значения аргумента.