Номер 936, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Понятие множества. Числовые промежутки. Глава 2. Функции - номер 936, страница 162.

Условие.

936. У вкладчика на счёте в банке лежит 1000 рублей. Ему разрешается проводить две операции: снимать со счёта 252 рубля или класть на счёт 222 рубля. Сможет ли он с помощью этих операций добиться того, что на счёте останется 12 рублей?

Решение 5.

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяется сумма на счете после каждой операции. Заметим, что обе суммы операций, 252 рубля и 222 рубля, делятся на некоторое общее число. Найдем их наибольший общий делитель (НОД).

Разложим числа 252 и 222 на простые множители:

$252 = 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

$222 = 2 \cdot 111 = 2 \cdot 3 \cdot 37$

Наибольший общий делитель этих чисел равен произведению их общих простых множителей: НОД(252, 222) = $2 \cdot 3 = 6$.

Это означает, что любая из разрешенных операций (снятие 252 рублей или пополнение на 222 рубля) изменяет сумму на счете на число, кратное 6. Следовательно, любое количество таких операций изменит первоначальную сумму также на число, кратное 6. Это свойство является инвариантом: остаток от деления суммы на счете на 6 не должен меняться после любой операции.

Проверим остаток от деления начальной суммы (1000 рублей) на 6:

$1000 \div 6 = 166$ с остатком $4$.

Это можно записать в виде сравнения по модулю: $1000 \equiv 4 \pmod 6$.

Таким образом, любая сумма, которую можно получить на счете, должна также давать остаток 4 при делении на 6.

Теперь проверим, какой остаток дает целевая сумма (12 рублей) при делении на 6:

$12 \div 6 = 2$ с остатком $0$.

То есть, $12 \equiv 0 \pmod 6$.

Поскольку остаток от деления начальной суммы на 6 (равный 4) не совпадает с остатком от деления целевой суммы на 6 (равным 0), то достичь суммы в 12 рублей с помощью указанных операций невозможно.

Ответ: нет, не сможет.