Номер 8, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 22. Связи между величинами. Функция. Глава 2. Функции - номер 8, страница 166.

Условие.

8. Что такое область значений функции?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Область значений функции (или множество значений функции) — это совокупность всех значений, которые принимает зависимая переменная (обычно обозначается как $y$) при переборе всех возможных значений независимой переменной (аргумента, обычно $x$) из её области определения.

Если функция задана формулой $y = f(x)$, то её область определения $D(f)$ — это множество всех $x$, для которых выражение $f(x)$ имеет смысл. В свою очередь, область значений $E(f)$ (или $E(y)$) — это множество всех $y$, которые получаются в результате подстановки в функцию всех возможных $x$ из области определения. Формально это записывается так: $E(f) = \{y \mid y = f(x), x \in D(f)\}$.

Рассмотрим несколько примеров:

• Для квадратичной функции $y = x^2$. В неё можно подставить любое действительное число $x$ (область определения $D(f)=\mathbb{R}$). Однако, поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), значения $y$ никогда не будут отрицательными. Следовательно, область значений этой функции — луч $[0; +\infty)$.
• Для тригонометрической функции $y = \cos(x)$. Область определения также является множеством всех действительных чисел ($D(f)=\mathbb{R}$). Известно, что значения косинуса всегда находятся в границах от -1 до 1 включительно. Таким образом, область значений этой функции — отрезок $[-1; 1]$.
• Для функции $y = \sqrt{x-3}$. Область определения — это все $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Значит, $D(f)=[3; +\infty)$. Арифметический квадратный корень также всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, область значений — луч $[0; +\infty)$.

Для нахождения области значений функции используются различные методы:

1. Графический метод. Если построен график функции, то её область значений — это проекция всех точек графика на ось ординат (ось $OY$). Проще говоря, это все значения по вертикали, которые «занимает» график функции.
2. Аналитический метод. Он основан на свойствах функций. Например, можно использовать информацию об ограниченности функции (как у $y = \sin(x)$), о наличии у неё точек минимума или максимума (как у параболы $y = ax^2+bx+c$), или о её непрерывности.
3. Метод обратной функции. Иногда удобно из формулы $y=f(x)$ выразить $x$ через $y$ и найти область определения для полученного выражения относительно переменной $y$. Эта область и будет являться областью значений исходной функции. Например, для $y = \frac{5}{x-2}$, выразим $x$: $y(x-2)=5 \implies yx-2y=5 \implies yx=5+2y \implies x=\frac{5+2y}{y}$. В этом выражении знаменатель не может быть равен нулю, то есть $y \neq 0$. Значит, область значений исходной функции $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция (зависимая переменная $y$) при всех допустимых значениях её аргумента ($x$).