Страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

916. Укажите наименьшее целое число, принадлежащее промежутку.

1) Промежуток $(5; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые строго больше 5. Это можно записать в виде неравенства $x > 5$. Круглая скобка означает, что число 5 не входит в данный промежуток. Мы ищем наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию. Целые числа, большие 5, образуют последовательность: 6, 7, 8, ... Наименьшим в этой последовательности является число 6.
Ответ: 6

2) Промежуток $[5; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые больше или равны 5. Это можно записать в виде неравенства $x \ge 5$. Квадратная скобка означает, что число 5 включается в данный промежуток. Мы ищем наименьшее целое число, которое принадлежит этому промежутку. Целые числа, которые больше или равны 5, образуют последовательность: 5, 6, 7, ... Наименьшим в этой последовательности является число 5.
Ответ: 5

3) Промежуток $(-4,3; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые строго больше -4,3. Это можно записать в виде неравенства $x > -4,3$. Мы ищем наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Рассмотрим целые числа вблизи -4,3 на числовой прямой: ..., -6, -5, -4, -3, -2, ... . Целое число -5 меньше, чем -4,3, поэтому оно не принадлежит промежутку. Следующее целое число, -4, больше, чем -4,3 ($ -4 > -4,3 $), следовательно, оно принадлежит промежутку. Таким образом, -4 является наименьшим целым числом в данном промежутке.
Ответ: -4

4) Промежуток $[-0,8; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые больше или равны -0,8. Это можно записать в виде неравенства $x \ge -0,8$. Квадратная скобка означает, что число -0,8 включено в промежуток. Мы ищем наименьшее целое число, которое принадлежит этому промежутку. Рассмотрим целые числа вблизи -0,8 на числовой прямой: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... . Целое число -1 меньше, чем -0,8, поэтому оно не принадлежит промежутку. Следующее целое число, 0, больше, чем -0,8 ($ 0 > -0,8 $), следовательно, оно принадлежит промежутку. Таким образом, 0 является наименьшим целым числом в данном промежутке.
Ответ: 0

917. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

1) $(-&infty;; -10)$

2) $(-&infty;; -5,6]$

3) $(-&infty;; 2]$

4) $(-&infty;; -3,4)$

1) Промежуток $(-\infty; -10)$ включает в себя все действительные числа, которые строго меньше $-10$. Это можно записать в виде неравенства $x < -10$. Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Если мы посмотрим на числовую прямую, целые числа, расположенные левее $-10$, это $-11, -12, -13, \dots$. Самым большим (наиболее правым на числовой оси) из этих целых чисел является $-11$.
Ответ: -11.

2) Промежуток $(-\infty; -5,6]$ включает в себя все действительные числа, которые меньше или равны $-5,6$. Квадратная скобка означает, что число $-5,6$ входит в промежуток. Это можно записать в виде неравенства $x \le -5,6$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это $-6, -7, -8, \dots$. Наибольшим из этих целых чисел является $-6$.
Ответ: -6.

3) Промежуток $(-\infty; 2]$ включает в себя все действительные числа, которые меньше или равны $2$. Квадратная скобка означает, что число $2$ входит в промежуток. Это можно записать в виде неравенства $x \le 2$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это $2, 1, 0, -1, \dots$. Так как $2$ является целым числом и входит в данный промежуток, оно и будет наибольшим целым числом в этом промежутке.
Ответ: 2.

4) Промежуток $(-\infty; -3,4)$ включает в себя все действительные числа, которые строго меньше $-3,4$. Это можно записать в виде неравенства $x < -3,4$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это $-4, -5, -6, \dots$. Наибольшим из этих целых чисел является $-4$.
Ответ: -4.

918. Каким из данных промежутков принадлежит число -18:

1) $(-\infty; -18)$;

2) $[-18; +\infty)$;

3) $(-\infty; 0]$;

4) $(-\infty; -17)$?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить принадлежность числа -18 каждому из предложенных промежутков. При этом важно помнить значение скобок в записи промежутков: круглая скобка `(` или `)` означает, что граничное значение не входит в промежуток (строгое неравенство), а квадратная `[` или `]` — что входит (нестрогое неравенство).

1) $(-\infty; -18)$

Данный промежуток представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $x < -18$. Проверим, выполняется ли это условие для числа -18. Неравенство $-18 < -18$ является ложным. Следовательно, число -18 не принадлежит этому промежутку.

Ответ: не принадлежит.

2) $[-18; +\infty)$

Данный промежуток представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $x \ge -18$. Проверим, выполняется ли это условие для числа -18. Неравенство $-18 \ge -18$ является истинным, так как $-18 = -18$. Следовательно, число -18 принадлежит этому промежутку.

Ответ: принадлежит.

3) $(-\infty; 0]$

Данный промежуток представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $x \le 0$. Проверим, выполняется ли это условие для числа -18. Неравенство $-18 \le 0$ является истинным. Следовательно, число -18 принадлежит этому промежутку.

Ответ: принадлежит.

4) $(-\infty; -17)$

Данный промежуток представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $x < -17$. Проверим, выполняется ли это условие для числа -18. Неравенство $-18 < -17$ является истинным. Следовательно, число -18 принадлежит этому промежутку.

Ответ: принадлежит.

Таким образом, с математической точки зрения, число -18 принадлежит трем промежуткам: 2), 3) и 4). Однако вопрос "Каким из данных промежутков..." сформулирован в единственном числе, что в учебных задачах обычно предполагает наличие единственного верного ответа. В подобных заданиях часто основной акцент делается на проверку понимания обозначений границ промежутков. Число -18 является граничной точкой для промежутков 1) и 2). Именно сравнение этих двух вариантов проверяет знание того, как квадратные и круглые скобки влияют на включение числа в промежуток. Поскольку число -18 включается в промежуток $[-18; +\infty)$, но не в $(-\infty; -18)$, наиболее вероятным и полным ответом, соответствующим цели задания, является вариант 2).

919. Какому из данных промежутков не принадлежит число 10:

1) $ (9,99; +\infty) $;

2) $ (-\infty; 11) $;

3) $ (-\infty; 9,99) $;

4) $ [10; +\infty) $?

Для того чтобы определить, какому из данных промежутков не принадлежит число 10, проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) (9,99; +∞). Этот промежуток представляет собой интервал, содержащий все действительные числа, которые строго больше 9,99. Данное условие можно записать в виде неравенства: $x > 9,99$. Так как $10 > 9,99$, число 10 принадлежит этому промежутку.

2) (-∞; 11). Этот промежуток представляет собой интервал, содержащий все действительные числа, которые строго меньше 11. Данное условие можно записать в виде неравенства: $x < 11$. Так как $10 < 11$, число 10 принадлежит этому промежутку.

3) (-∞; 9,99). Этот промежуток представляет собой интервал, содержащий все действительные числа, которые строго меньше 9,99. Данное условие можно записать в виде неравенства: $x < 9,99$. Число 10 не удовлетворяет этому неравенству, поскольку $10 > 9,99$. Следовательно, число 10 не принадлежит этому промежутку.

4) [10; +∞). Этот промежуток представляет собой числовой луч, содержащий все действительные числа, которые больше или равны 10. Квадратная скобка `[` означает, что граничное значение (число 10) включено в промежуток. Условие можно записать в виде нестрогого неравенства: $x \ge 10$. Так как $10 = 10$, условие выполняется, и число 10 принадлежит этому промежутку.

Итак, в результате проверки всех вариантов мы выяснили, что число 10 не принадлежит только одному промежутку: $(-\infty; 9,99)$.

Ответ: 3.

920. Назовите все целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $[7; 11]$

2) $(3; 8,7]$

3) $[-6,1; 1)$

4) $(-3; 3)$

1) [7; 11]
Данный промежуток $[7; 11]$ является числовым отрезком. Он содержит все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $7 \le x \le 11$. Квадратные скобки означают, что концы промежутка (числа 7 и 11) также принадлежат ему.
Чтобы найти все целые числа, принадлежащие этому промежутку, нужно перечислить все целые числа от 7 до 11 включительно.
Это числа: 7, 8, 9, 10, 11.
Ответ: 7, 8, 9, 10, 11.

2) (3,8; 7]
Данный промежуток $(3,8; 7]$ является полуинтервалом. Он содержит все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $3,8 < x \le 7$. Круглая скобка слева означает, что число 3,8 не входит в промежуток, а квадратная скобка справа означает, что число 7 входит в промежуток.
Нам нужно найти все целые числа, которые строго больше 3,8 и меньше либо равны 7.
Первое целое число, которое больше 3,8, это 4. Далее идут 5, 6 и 7 (которое включено в промежуток).
Таким образом, искомые целые числа: 4, 5, 6, 7.
Ответ: 4, 5, 6, 7.

3) [-6,1; 1)
Данный промежуток $[-6,1; 1)$ является полуинтервалом. Он содержит все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-6,1 \le x < 1$. Квадратная скобка слева означает, что число -6,1 входит в промежуток, а круглая скобка справа означает, что число 1 не входит в промежуток.
Нам нужно найти все целые числа, которые больше либо равны -6,1 и строго меньше 1.
Первое целое число, которое больше либо равно -6,1, это -6. Далее перечисляем целые числа в порядке возрастания до тех пор, пока они остаются меньше 1.
Искомые целые числа: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.
Ответ: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.

4) (-3; 3)
Данный промежуток $(-3; 3)$ является открытым интервалом. Он содержит все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-3 < x < 3$. Круглые скобки означают, что концы промежутка (числа -3 и 3) не принадлежат ему.
Нам нужно найти все целые числа, которые строго больше -3 и строго меньше 3.
Первое целое число, которое больше -3, это -2. Далее перечисляем целые числа в порядке возрастания, пока они остаются меньше 3.
Искомые целые числа: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

921. Укажите наименьшее и наибольшее целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $[-15; -4]$;

2) $(8; 14]$;

3) $(-8.7; 2.8]$;

4) $[-6.4; -1.9]$.

1) Задан промежуток $[-15; -4]$. Это замкнутый числовой отрезок, который включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-15 \le x \le -4$.
Наименьшее целое число в этом промежутке — это левая граница, так как она является целым числом и включена в промежуток (обозначено квадратной скобкой). Таким образом, наименьшее целое число равно $-15$.
Наибольшее целое число — это правая граница, так как она также является целым числом и включена в промежуток. Таким образом, наибольшее целое число равно $-4$.
Ответ: наименьшее число: $-15$, наибольшее число: $-4$.

2) Задан промежуток $(8; 14]$. Это полуинтервал, который включает все числа $x$, удовлетворяющие строгому неравенству $x > 8$ и нестрогому неравенству $x \le 14$.
Левая граница, 8, не входит в промежуток (обозначено круглой скобкой). Следовательно, наименьшим целым числом в этом промежутке будет первое целое число, которое больше 8. Это число 9.
Правая граница, 14, входит в промежуток (обозначено квадратной скобкой) и является целым числом. Следовательно, 14 — это наибольшее целое число в данном промежутке.
Ответ: наименьшее число: 9, наибольшее число: 14.

3) Задан промежуток $(-8,7; 2,8]$. Это полуинтервал, который включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-8,7 < x \le 2,8$.
Чтобы найти наименьшее целое число, нужно найти первое целое число, которое больше $-8,7$. На числовой оси это будет $-8$.
Чтобы найти наибольшее целое число, нужно найти самое большое целое число, которое меньше или равно $2,8$. На числовой оси это будет $2$.
Ответ: наименьшее число: $-8$, наибольшее число: $2$.

4) Задан промежуток $[-6,4; -1,9]$. Это замкнутый числовой отрезок, который включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-6,4 \le x \le -1,9$.
Наименьшее целое число в этом промежутке — это первое целое число, которое больше или равно $-6,4$. Это число $-6$.
Наибольшее целое число — это самое большое целое число, которое меньше или равно $-1,9$. Это число $-2$.
Ответ: наименьшее число: $-6$, наибольшее число: $-2$.

922. Запишите множество корней уравнения:

1) $(x-3)(x^2-9)=0;$

2) $x^2+4=0.$

1) Исходное уравнение: $(x-3)(x^2-9)=0$.
Произведение двух или более множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x-3=0$ или $x^2-9=0$.
Решим каждое уравнение по отдельности.
Первое уравнение:
$x-3=0$
$x_1=3$
Второе уравнение:
$x^2-9=0$
$x^2=9$
$x = \pm\sqrt{9}$
$x_2=3$, $x_3=-3$
Объединяя полученные корни, получаем множество уникальных значений. Корень $x=3$ встречается в обоих случаях, а также есть корень $x=-3$. Таким образом, множество корней исходного уравнения состоит из двух элементов.
Ответ: $\{-3, 3\}$

2) Исходное уравнение: $x^2+4=0$.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$x^2 = -4$
В области действительных чисел квадрат любого числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Поскольку правая часть уравнения равна $-4$ (отрицательное число), уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Следовательно, множество его корней является пустым множеством.
Ответ: $\emptyset$

923. Запишите множество корней уравнения:

1) $x^3 - 64x = 0;$

2) $(x - 1)^2 - 3x = x^2 - 5x.$

1) $x^3 - 64x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 64) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два случая:

1. $x = 0$. Это первый корень уравнения.

2. $x^2 - 64 = 0$.

Решим второе уравнение. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$ и $b=8$:

$(x - 8)(x + 8) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

$x - 8 = 0$, откуда $x = 8$.

$x + 8 = 0$, откуда $x = -8$.

Таким образом, мы нашли три корня уравнения. Множество корней уравнения — это совокупность всех найденных значений.

Ответ: $\{-8, 0, 8\}$

2) $(x - 1)^2 - 3x = x^2 - 5x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 3x = x^2 - 5x$

$x^2 - 2x + 1 - 3x = x^2 - 5x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$x^2 - 5x + 1 = x^2 - 5x$

Теперь перенесем все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$x^2 - 5x + 1 - x^2 + 5x = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-5x + 5x) + 1 = 0$

После сокращения получаем:

$0 + 0 + 1 = 0$

$1 = 0$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что ни при каком значении $x$ исходное равенство не может быть верным. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Множество корней данного уравнения является пустым множеством.

Ответ: $\emptyset$

924. Запишите все одноэлементные подмножества множества $A = \{11, -7, 19\}$.

Дано множество $A = \{11, -7, 19\}$. Требуется найти все его подмножества, состоящие ровно из одного элемента. Такие подмножества называются одноэлементными.

Элементами множества $A$ являются числа $11$, $-7$ и $19$.

Чтобы сформировать одноэлементное подмножество, нужно взять один элемент из исходного множества и записать его как самостоятельное множество (в фигурных скобках).

1. Возьмем первый элемент множества $A$ — число $11$. Подмножество, содержащее только этот элемент, записывается как $\{11\}$.

2. Возьмем второй элемент множества $A$ — число $-7$. Подмножество, содержащее только этот элемент, записывается как $\{-7\}$.

3. Возьмем третий элемент множества $A$ — число $19$. Подмножество, содержащее только этот элемент, записывается как $\{19\}$.

Больше элементов в множестве $A$ нет, следовательно, мы перечислили все его одноэлементные подмножества.

Ответ: $\{11\}, \{-7\}, \{19\}$.

925. Запишите все двухэлементные подмножества множества $B = \{3, 9, -8\}$.

Дано множество $B = \{3, 9, -8\}$. Это множество состоит из трех элементов.

Двухэлементное подмножество — это подмножество, которое содержит ровно два элемента из исходного множества. Нам необходимо найти все возможные пары элементов из множества $B$. Важно помнить, что порядок элементов в подмножестве не имеет значения, то есть $\{3, 9\}$ и $\{9, 3\}$ представляют одно и то же подмножество.

Чтобы найти все двухэлементные подмножества, будем последовательно составлять все возможные комбинации (пары) из элементов множества $B$:
1. Возьмем первый элемент $3$ и скомбинируем его со всеми остальными элементами: $\{3, 9\}$, $\{3, -8\}$.
2. Возьмем второй элемент $9$ и скомбинируем его с элементами, следующими за ним (элемент $3$ уже был скомбинирован, поэтому мы его пропускаем): $\{9, -8\}$.
3. Для последнего элемента $-8$ все возможные пары уже составлены на предыдущих шагах.

Таким образом, мы нашли все возможные двухэлементные подмножества.

Также количество таких подмножеств можно проверить с помощью формулы числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае общее число элементов $n=3$, а размер подмножеств $k=2$.
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$.
Расчет подтверждает, что существует ровно 3 таких подмножества.

Ответ: $\{3, 9\}$; $\{3, -8\}$; $\{9, -8\}$.

926. Который сейчас час, если оставшаяся часть суток в $1\frac{2}{3}$ раза меньше прошедшей?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ часов — это прошедшая часть суток. Тогда это и есть текущее время.

В сутках 24 часа. Следовательно, оставшаяся часть суток составляет $(24 - x)$ часов.

По условию, оставшаяся часть суток в $1\frac{2}{3}$ раза меньше прошедшей. Это означает, что если прошедшую часть разделить на $1\frac{2}{3}$, мы получим оставшуюся часть.

Запишем это в виде уравнения:

$24 - x = x \div 1\frac{2}{3}$

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$24 - x = x \div \frac{5}{3} = x \cdot \frac{3}{5}$

$24 - x = \frac{3x}{5}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 5:

$5 \cdot (24 - x) = 5 \cdot \frac{3x}{5}$

$120 - 5x = 3x$

Перенесем все члены, содержащие $x$, в правую часть уравнения:

$120 = 3x + 5x$

$120 = 8x$

Найдем $x$:

$x = \frac{120}{8} = 15$

Таким образом, с начала суток прошло 15 часов.

Ответ: 15:00.

927. В гостинице имеются только одноместные и двухместные номера. На каждые 3 одноместных номера приходится 2 двухместных. Сколько процентов составляет количество одноместных номеров от общего количества номеров? Сколько всего мест в гостинице, если имеется 34 двухместных номера?

Сколько процентов составляет количество одноместных номеров от общего количества номеров?

Из условия задачи известно, что на каждые 3 одноместных номера приходится 2 двухместных номера. Это означает, что соотношение количества одноместных номеров к количеству двухместных равно $3:2$.

Чтобы найти долю одноместных номеров, мы можем рассмотреть условную группу номеров, состоящую из 3 одноместных и 2 двухместных. Общее количество номеров в такой группе будет:

$3 + 2 = 5$ номеров.

В этой группе 3 номера являются одноместными. Следовательно, доля одноместных номеров от общего количества составляет $\frac{3}{5}$.

Чтобы выразить эту долю в процентах, нужно умножить ее на 100%:

$\frac{3}{5} \times 100\% = 0.6 \times 100\% = 60\%$.

Ответ: 60%.

Сколько всего мест в гостинице, если имеется 34 двухместных номера?

Сначала найдем количество одноместных номеров. Мы знаем, что соотношение одноместных номеров ($N_1$) к двухместным ($N_2$) равно $3:2$.

$\frac{N_1}{N_2} = \frac{3}{2}$

По условию, в гостинице 34 двухместных номера, то есть $N_2 = 34$. Подставим это значение в пропорцию:

$\frac{N_1}{34} = \frac{3}{2}$

Отсюда найдем количество одноместных номеров:

$N_1 = \frac{3 \times 34}{2} = 3 \times 17 = 51$ одноместный номер.

Теперь вычислим общее количество мест в гостинице. В каждом одноместном номере 1 место, а в каждом двухместном — 2 места.

Общее количество мест = (количество одноместных номеров $\times$ 1) + (количество двухместных номеров $\times$ 2).

Общее количество мест = $(51 \times 1) + (34 \times 2) = 51 + 68 = 119$ мест.

Ответ: 119 мест.

928. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(7^4)^2}{7^6 \cdot 49}$

2) $\frac{(5^5)^3}{5^{10} \cdot 125}$

3) $\frac{42^8}{36^3 \cdot 7^8}$

4) $\frac{50^3}{4^3 \cdot 5^6}$

5) $\frac{3^{20} + 3^{18} - 2 \cdot 3^{19}}{2^3 \cdot 9^9}$

6) $\frac{2^{48} - 2^{47} + 15 \cdot 2^{46}}{17 \cdot 16^{11}}$

1)

Для решения используем свойства степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Сначала упростим числитель:
$(7^4)^2 = 7^{4 \cdot 2} = 7^8$.

Теперь упростим знаменатель. Представим $49$ как степень числа $7$: $49 = 7^2$.
$7^6 \cdot 49 = 7^6 \cdot 7^2 = 7^{6+2} = 7^8$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{7^8}{7^8} = 7^{8-8} = 7^0 = 1$.

Ответ: 1

2)

Упростим числитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^5)^3 = 5^{5 \cdot 3} = 5^{15}$.

Упростим знаменатель. Представим $125$ как степень числа $5$: $125 = 5^3$.
$5^{10} \cdot 125 = 5^{10} \cdot 5^3 = 5^{10+3} = 5^{13}$.

Теперь выполним деление:
$\frac{5^{15}}{5^{13}} = 5^{15-13} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

3)

Разложим основания степеней на простые множители и воспользуемся свойством $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$42 = 6 \cdot 7$, поэтому $42^8 = (6 \cdot 7)^8 = 6^8 \cdot 7^8$.
$36 = 6^2$, поэтому $36^3 = (6^2)^3 = 6^{2 \cdot 3} = 6^6$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{42^8}{36^3 \cdot 7^8} = \frac{6^8 \cdot 7^8}{6^6 \cdot 7^8}$.

Сократим дробь на $7^8$:
$\frac{6^8}{6^6} = 6^{8-6} = 6^2 = 36$.

Ответ: 36

4)

Разложим основания степеней на множители.
Числитель: $50^3 = (2 \cdot 25)^3 = (2 \cdot 5^2)^3 = 2^3 \cdot (5^2)^3 = 2^3 \cdot 5^6$.
Знаменатель: $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$. Знаменатель равен $4^3 \cdot 5^6 = 2^6 \cdot 5^6$.

Подставим в исходное выражение:
$\frac{50^3}{4^3 \cdot 5^6} = \frac{2^3 \cdot 5^6}{2^6 \cdot 5^6}$.

Сократим дробь на $5^6$:
$\frac{2^3}{2^6} = 2^{3-6} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

5)

В числителе вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{18}$:
$3^{20} + 3^{18} - 2 \cdot 3^{19} = 3^{18} \cdot 3^2 + 3^{18} \cdot 1 - 2 \cdot 3^{18} \cdot 3^1 = 3^{18}(3^2 + 1 - 2 \cdot 3) = 3^{18}(9 + 1 - 6) = 3^{18} \cdot 4 = 3^{18} \cdot 2^2$.

В знаменателе представим $9$ как $3^2$:
$2^3 \cdot 9^9 = 2^3 \cdot (3^2)^9 = 2^3 \cdot 3^{18}$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{3^{18} \cdot 2^2}{2^3 \cdot 3^{18}}$.

Сократим дробь на $3^{18}$:
$\frac{2^2}{2^3} = 2^{2-3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

6)

В числителе вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{46}$:
$2^{48} - 2^{47} + 15 \cdot 2^{46} = 2^{46} \cdot 2^2 - 2^{46} \cdot 2^1 + 15 \cdot 2^{46} = 2^{46}(2^2 - 2 + 15) = 2^{46}(4 - 2 + 15) = 2^{46} \cdot 17$.

В знаменателе представим $16$ как $2^4$:
$17 \cdot 16^{11} = 17 \cdot (2^4)^{11} = 17 \cdot 2^{4 \cdot 11} = 17 \cdot 2^{44}$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{2^{46} \cdot 17}{17 \cdot 2^{44}}$.

Сократим дробь на $17$:
$\frac{2^{46}}{2^{44}} = 2^{46-44} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

929. Сколькими нулями оканчивается значение выражения $2^{11} \cdot 3^{12} \cdot 5^{13} \cdot 7^{14}$?

Количество нулей, на которое оканчивается число, определяется количеством множителей 10 в его разложении на простые множители. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, нам нужно найти, сколько пар множителей 2 и 5 можно составить из простых множителей данного выражения.

Рассмотрим данное выражение: $2^{11} \cdot 3^{12} \cdot 5^{13} \cdot 7^{14}$.

Это выражение уже представлено в виде произведения степеней простых чисел. Из него мы видим, что:

• множитель 2 входит в разложение 11 раз (из-за множителя $2^{11}$);
• множитель 5 входит в разложение 13 раз (из-за множителя $5^{13}$).

Множители $3^{12}$ и $7^{14}$ не влияют на количество нулей в конце числа, так как они не содержат ни 2, ни 5 в качестве простых делителей.

Для образования каждого нуля в конце числа необходима одна пара множителей (2 и 5). Количество таких пар определяется наименьшим из показателей степеней у чисел 2 и 5. В нашем случае это показатели 11 и 13.

Сравниваем показатели степеней: $\min(11, 13) = 11$.

Это означает, что мы можем сформировать 11 пар множителей $(2 \cdot 5)$, что дает нам $10^{11}$.

Можно представить выражение следующим образом:

$2^{11} \cdot 3^{12} \cdot 5^{13} \cdot 7^{14} = (2^{11} \cdot 5^{11}) \cdot 3^{12} \cdot 5^{2} \cdot 7^{14} = 10^{11} \cdot (3^{12} \cdot 5^{2} \cdot 7^{14})$

Выражение в скобках $3^{12} \cdot 5^{2} \cdot 7^{14}$ является целым числом, которое не оканчивается на ноль, поскольку в его разложении на простые множители нет двоек. Умножение этого числа на $10^{11}$ добавит к нему 11 нулей в конце.

Таким образом, значение выражения оканчивается на 11 нулей.

Ответ: 11