Страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как обозначают множество и его элементы?

В математике существуют стандартные соглашения для обозначения множеств и их элементов.

Обозначение множества

Множества принято обозначать большими (прописными) буквами латинского алфавита: $A, B, C, M, X$ и так далее. Для записи самого множества используют фигурные скобки $\{\}$. Существует два основных способа задания множества:

1. Перечисление всех его элементов. Элементы записываются в фигурных скобках через запятую. Порядок перечисления элементов не имеет значения. Например, множество $V$ гласных букв русского алфавита можно записать как $V = \{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я\}$.

2. Задание характеристического свойства. Указывается свойство, которым обладают все элементы множества и не обладают другие объекты. Запись обычно выглядит так: $A = \{x | P(x)\}$, что читается как «множество $A$ состоит из всех таких элементов $x$, для которых истинно свойство $P(x)$». Например, множество $N_5$ натуральных чисел, меньших 5, можно записать как $N_5 = \{n | n \in \mathbb{N} \text{ и } n < 5\}$. В результате это то же самое множество, что и $\{1, 2, 3, 4\}$.

Некоторые часто используемые числовые множества имеют стандартные обозначения: $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел, $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел, $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел, $\mathbb{R}$ — множество действительных чисел. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом $\emptyset$ или {}.

Обозначение элементов и их принадлежности множеству

Элементы множества — объекты, из которых оно состоит — как правило, обозначают малыми (строчными) буквами латинского алфавита: $a, b, c, x, y$ и так далее.

Для указания того, что некоторый объект является элементом множества, используется символ принадлежности $\in$. Запись $a \in A$ означает, что объект $a$ является элементом множества $A$ (или «$a$ принадлежит множеству $A$»).

Если объект не является элементом множества, используется символ непринадлежности $\notin$. Запись $b \notin A$ означает, что объект $b$ не является элементом множества $A$ (или «$b$ не принадлежит множеству $A$»).

Например, для множества $A = \{2, 4, 6, 8\}$ верными будут записи $4 \in A$ и $5 \notin A$.

Ответ: Множества обозначают прописными латинскими буквами ($A, B, C, ...$), а их элементы — строчными ($a, b, c, ...$). Запись множества производится либо перечислением элементов в фигурных скобках ($A = \{a, b, c\}$), либо указанием их общего свойства ($B = \{x | P(x)\}$). Принадлежность элемента $a$ множеству $A$ записывается с помощью символа $\in$ как $a \in A$, а непринадлежность — с помощью символа $\notin$ как $a \notin A$.

2. Как обозначают множество натуральных чисел? множество целых чисел? множество рациональных чисел? множество действительных чисел?

Множество натуральных чисел — это множество чисел, используемых при счете предметов ($1, 2, 3, ...$). Для его обозначения используется заглавная латинская буква $\mathbb{N}$. Эта буква является первой в латинском слове naturalis, что переводится как «естественный». В российской математической традиции принято считать натуральные числа с единицы.
Формально множество можно записать так: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.
Иногда, если в множество натуральных чисел включают ноль, используют обозначение $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\}$.
Ответ: $\mathbb{N}$

Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, им противоположных отрицательных чисел и нуля. Оно обозначается символом $\mathbb{Z}$. Эта буква взята из немецкого слова Zahlen, что означает «числа».
Формально множество можно записать так: $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
Ответ: $\mathbb{Z}$

Множество рациональных чисел — это все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Это множество обозначается символом $\mathbb{Q}$, от слова quotient («частное» или «отношение»).
Формально множество определяется как: $\mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$.
Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
Ответ: $\mathbb{Q}$

Множество действительных чисел (также их называют вещественными) представляет собой объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел (чисел, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, например, $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$). Множество действительных чисел обозначается символом $\mathbb{R}$ от латинского realis («действительный», «вещественный»). Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой, и наоборот.
Все рассмотренные числовые множества образуют цепочку вложений: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Ответ: $\mathbb{R}$

3. Как записать, что элемент принадлежит (не принадлежит) множеству $A$?

Принадлежит

Чтобы записать, что некоторый элемент, обозначим его буквой x, принадлежит множеству A, используется специальный математический символ принадлежности: ∈. Данный символ является стилизованной версией греческой буквы эпсилон (ε) и был введен итальянским математиком Джузеппе Пеано. Запись читается как «элемент x принадлежит множеству A».

Ответ: $x \in A$

Не принадлежит

Для записи утверждения о том, что элемент x не является элементом множества A, используется символ непринадлежности: ∉. Он представляет собой перечеркнутый символ принадлежности. Запись читается как «элемент x не принадлежит множеству A».

Ответ: $x \notin A$

4. Какое множество называют пустым? Как его обозначают?

Какое множество называют пустым?

В математике, а именно в теории множеств, пустым множеством называют такое множество, которое не содержит в себе ни одного элемента. Это означает, что его мощность (количество элементов) равна нулю. Пустое множество является уникальным, то есть существует только одно пустое множество.

Несмотря на отсутствие элементов, пустое множество является фундаментальным понятием и обладает важным свойством: оно является подмножеством любого другого множества.

Примерами условий, задающих пустое множество, могут быть:
– Множество треугольников с четырьмя углами.
– Множество действительных чисел $x$, удовлетворяющих уравнению $x^2 = -4$.
– Множество людей, побывавших на Солнце.

Ответ: Пустое множество — это множество, которое не содержит ни одного элемента.

Как его обозначают?

Существует два стандартных способа обозначения пустого множества:

1. С помощью специального символа $\emptyset$. Этот символ был введен группой математиков Бурбаки и происходит от буквы Ø датского и норвежского алфавитов.

2. С помощью пары фигурных скобок, между которыми ничего нет: $\{ \}$. Этот способ наглядно показывает, что множество не содержит элементов.

Оба обозначения, $\emptyset$ и $\{ \}$, абсолютно равнозначны. Важно отметить, что запись $\{ \emptyset \}$ не является пустым множеством. Это множество, которое содержит один элемент — само пустое множество.

Ответ: Пустое множество обозначают символом $\emptyset$ или парой пустых фигурных скобок $\{ \}$.

5. В виде какой дроби можно представить иррациональное число?

По своему определению, иррациональное число — это вещественное число, которое нельзя представить в виде обыкновенной (простой) дроби вида $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($q \ne 0$).

Любое число, которое можно записать в виде такой дроби, называется рациональным. Десятичное представление рационального числа является либо конечным (например, $\frac{1}{4} = 0.25$), либо бесконечным периодическим (например, $\frac{1}{3} = 0.333\dots$). В отличие от них, десятичное представление иррационального числа всегда является бесконечным и непериодическим (например, число $\pi \approx 3.14159265\dots$ или $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$).

Однако существует другой вид дробей, с помощью которых можно представить иррациональные числа. Это бесконечные непрерывные (или цепные) дроби.

Непрерывная дробь — это математическое выражение вида: $ a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \dots}}} $ где $a_0$ — целое число, а все остальные $a_k$ (для $k \ge 1$) — натуральные числа.

• Если число рациональное, его представление в виде непрерывной дроби всегда будет конечным.
• Если число иррациональное, его представление в виде непрерывной дроби всегда будет бесконечным.

Например, иррациональное число $\sqrt{2}$ можно представить в виде следующей бесконечной непрерывной дроби: $ \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}} $

Таким образом, ответ на вопрос зависит от того, какой тип дроби имеется в виду.

Ответ: Иррациональное число нельзя представить в виде обыкновенной дроби (отношения двух целых чисел), но его можно представить в виде бесконечной непрерывной (цепной) дроби.

6. Опишите связь между множеством действительных чисел ($\mathbb{R}$) и множеством точек координатной прямой.

Связь между множеством действительных чисел, обозначаемым как $R$, и множеством точек координатной прямой является фундаментальным понятием в математике, известным как взаимно однозначное соответствие. Это означает, что между этими двумя множествами можно установить такую связь, при которой:

1. Каждому действительному числу соответствует одна и только одна точка на координатной прямой.
2. Каждой точке на координатной прямой соответствует одно и только одно действительное число, называемое ее координатой.

Для установления этого соответствия на прямой линии необходимо задать:
• Начало отсчета (или начало координат) — некоторую точку $O$, которой сопоставляется число 0.
• Единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за единицу. Это позволяет измерять расстояния на прямой.
• Положительное направление — один из двух возможных лучей, исходящих из точки $O$. Обычно его указывают стрелкой.

Такая прямая называется координатной или числовой прямой. Любому положительному действительному числу $x$ на ней соответствует точка, расположенная на расстоянии $x$ единичных отрезков от начала отсчета в положительном направлении. Любому отрицательному числу $-x$ соответствует точка, расположенная на расстоянии $x$ от начала отсчета в отрицательном направлении.

Важно отметить, что множество действительных чисел полностью "заполняет" координатную прямую. В отличие от множества рациональных чисел, которое оставляет на прямой "пробелы" (соответствующие иррациональным числам, таким как $\sqrt{2}$ или $\pi$), множество действительных чисел обеспечивает непрерывность прямой. Между любыми двумя различными точками на прямой всегда найдется бесконечно много других точек, и всем им соответствуют действительные числа.

Ответ: Между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому действительному числу соответствует ровно одна точка на прямой, и каждой точке на прямой соответствует ровно одно действительное число.

7. По какой формуле находят длину отрезка, зная координаты его концов?

Длину отрезка по координатам его концов находят по формуле, которая является обобщением теоремы Пифагора для разных пространств (на прямой, на плоскости, в пространстве). Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Отрезок на координатной прямой (в одном измерении)

Если отрезок лежит на координатной оси, то его концы, точки A и B, имеют по одной координате: $A(x_1)$ и $B(x_2)$. Длина отрезка (или расстояние между точками) — это модуль разности их координат.

Формула: $d = |x_2 - x_1|$

Модуль используется, так как длина не может быть отрицательной величиной.

Ответ: $d = |x_2 - x_1|$

Случай 2: Отрезок на плоскости (в двух измерениях)

Это наиболее часто встречающийся случай в школьном курсе геометрии. Пусть даны две точки на плоскости с координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Чтобы найти расстояние между ними, можно достроить прямоугольный треугольник, где отрезок AB будет гипотенузой, а катеты будут параллельны осям координат.

Длина катета, параллельного оси Ox, равна $|x_2 - x_1|$.
Длина катета, параллельного оси Oy, равна $|y_2 - y_1|$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Отсюда, извлекая квадратный корень, получаем формулу для нахождения длины отрезка на плоскости:

Ответ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Случай 3: Отрезок в пространстве (в трех измерениях)

Формула для пространства является логичным продолжением формулы для плоскости. Пусть концы отрезка имеют координаты в трехмерном пространстве: $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Расстояние между ними (длина отрезка AB) вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

Ответ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

894. Как называют множество волков, подчиняющихся одному вожаку?

Множество волков, которое живёт и охотится вместе, подчиняясь строгой иерархии во главе с одним или парой лидеров (вожаков), называется стая. Волчья стая — это не случайное скопление животных, а высокоорганизованная социальная единица, чаще всего представляющая собой семейную группу. Во главе стаи обычно стоит доминантная пара — альфа-самец и альфа-самка (вожаки). Они ведут стаю на охоте, выбирают место для логова и, как правило, являются единственными, кто приносит потомство. Остальные члены стаи — это их дети из разных помётов, а иногда и другие, неродственные волки, принятые в группу. Все они занимают более низкое положение в иерархии и подчиняются вожакам. Такая совместная жизнь позволяет волкам успешно охотиться на крупную добычу, защищать территорию от конкурентов и эффективно растить потомство.

Ответ: стая.

895. Как называют множество деревьев, растущих рядом на большом участке земли?

Множество деревьев, растущих рядом на большом участке земли, называют лесом. Лес представляет собой сложную экологическую систему (или биогеоценоз), в которой главную роль играют деревья. Кроме деревьев, в состав леса входят кустарники, травы, мхи, лишайники, грибы, а также разнообразные животные и микроорганизмы. Существуют и более узкие понятия, уточняющие тип такого растительного сообщества. Например, роща — это небольшой, чаще всего лиственный лес, отделенный от основного лесного массива. Бор — это сосновый лес, растущий на сухих почвах. Тайга — это обширные хвойные леса в северных широтах. Однако наиболее общим и правильным ответом на поставленный вопрос является слово «лес».
Ответ: лес.

896. Как называют множество букв от а до я?

Множество букв от а до я, расположенных в общепринятом, строго определенном порядке, называется алфавитом или азбукой.

Оба термина обозначают одно и то же понятие — полный набор букв, используемых в письменности какого-либо языка. Однако они имеют разное происхождение. Слово «алфавит» пришло из греческого языка и образовано от названий его первых двух букв: альфа и вита. Слово «азбука» имеет исконно славянские корни и составлено по тому же принципу из старославянских названий первых букв: аз и буки.

В современном русском языке эти слова являются синонимами. Таким образом, совокупность всех 33 букв русского языка от 'а' до 'я' — это русский алфавит (или русская азбука).

Ответ: алфавит (или азбука).

897. Назовите какое-нибудь множество учеников вашей школы.

Множество — это совокупность каких-либо объектов, которые объединены по некоторому общему признаку. Элементами множества в данном случае являются ученики вашей школы. Определить множество можно, задав характеристическое свойство, которому удовлетворяют все его элементы.

Вот несколько примеров множеств учеников вашей школы:

• Множество всех учеников, учащихся в вашем классе.
  Это множество включает всех ваших одноклассников. Если вы, например, учитесь в 7 'А' классе, то это будет множество учеников 7 'А' класса.

• Множество всех учеников, учащихся в одной параллели.
  Например, множество всех учеников 10-х классов школы. Это множество будет состоять из всех учеников 10 'А', 10 'Б', 10 'В' и т.д., если такие классы есть в школе.

• Множество отличников школы.
  Это множество учеников, которые закончили учебный год на все пятерки. Формально это множество можно описать так: $A = \{x \mid x \text{ — ученик школы и его годовые оценки только «отлично»}\}$.

• Множество участников школьной олимпиады по математике.
  Это множество включает всех учеников, которые приняли участие в данном мероприятии. Это подмножество всех учеников школы.

• Пустое множество.
  Это множество, не содержащее ни одного элемента. Например, множество учеников вашей школы, которые родились в 18 веке. Очевидно, что таких учеников нет. Такое множество называется пустым и обозначается символом $\emptyset$.

Ответ: Множество учеников 8 'Б' класса; множество всех мальчиков, учащихся в школе; множество членов школьной баскетбольной команды; множество всех учеников школы.

898. Назовите какое-нибудь множество военнослужащих, объединённых в одно подразделение.

В вооруженных силах военнослужащие для выполнения боевых и учебных задач объединяются в различные по численности и назначению структурные единицы — подразделения. Каждое такое подразделение можно рассматривать как множество военнослужащих, находящихся под единым командованием и имеющих общую цель. Существует строгая иерархия таких подразделений.

Примерами таких множеств военнослужащих, объединенных в одно подразделение, могут служить (в порядке увеличения численности):

• Отделение — наименьшее тактическое подразделение, обычно состоящее из 9–13 человек.
• Взвод — состоит из нескольких отделений, его численность составляет от 20 до 50 военнослужащих.
• Рота — включает в себя несколько взводов, численность обычно варьируется от 80 до 250 человек.
• Батальон — состоит из нескольких рот и штаба, его численность — от 300 до 1000 человек.
• Полк — крупное подразделение, состоящее из нескольких батальонов, численностью от 1000 до 3000 и более человек.

Любое из перечисленных формирований является корректным ответом. Например, мотострелковая рота представляет собой множество, элементами которого являются все солдаты, сержанты и офицеры, входящие в ее состав.

Ответ: Рота.

899. Приведите примеры:

1) конечных множеств;

2) бесконечных множеств.

1) конечных множеств

Конечное множество — это множество, которое содержит определённое, конечное число элементов. Элементы такого множества можно пересчитать, и этот процесс закончится. Мощность (количество элементов) конечного множества является натуральным числом или нулём.

Примеры конечных множеств:

- Множество гласных букв в русском алфавите: {а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я}. В этом множестве 10 элементов.

- Множество натуральных чисел, меньших 100: $\{1, 2, 3, \dots, 99\}$. В этом множестве 99 элементов.

- Множество всех материков на Земле: {Евразия, Африка, Северная Америка, Южная Америка, Австралия, Антарктида}. В этом множестве 6 элементов.

- Пустое множество, обозначаемое символом $\emptyset$ или фигурными скобками {}, не содержит элементов. Его мощность равна 0, поэтому оно также является конечным.

Ответ: Множество дней в неделе; множество букв в слове "математика"; множество всех государств в мире.

2) бесконечных множеств

Бесконечное множество — это множество, которое не является конечным. Это означает, что процесс пересчёта его элементов никогда не закончится. Характерным свойством бесконечного множества является то, что его можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с некоторой его частью (собственным подмножеством).

Примеры бесконечных множеств:

- Множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$. Каким бы большим ни было натуральное число, всегда существует следующее за ним.

- Множество целых чисел $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$. Оно включает в себя все натуральные числа, ноль и все отрицательные целые числа.

- Множество точек на любой прямой или на любом отрезке прямой. Между любыми двумя различными точками на прямой всегда можно найти бесконечное множество других точек.

- Множество всех чисел, кратных 5: $\{5, 10, 15, 20, \dots\}$. Это множество является бесконечным, хотя оно и часть множества натуральных чисел.

Ответ: Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$; множество всех точек на плоскости; множество действительных чисел на отрезке $[0, 1]$.

900. Какие из следующих множеств равны пустому множеству:

1) множество волшебников;

2) множество горных вершин высотой более 8000 м;

3) множество прямоугольников, сумма углов которых равна $361^\circ$?

Пустое множество (обозначается как $ \emptyset $) — это множество, которое не содержит ни одного элемента. Проанализируем каждое из предложенных множеств, чтобы определить, является ли оно пустым.

1) множество волшебников
Волшебники — это персонажи из мифов, сказок и произведений в жанре фэнтези. В реальном мире людей, обладающих магическими способностями, не существует. Следовательно, это множество не содержит ни одного элемента.
Ответ: пустое множество.

2) множество горных вершин высотой более 8000 м
На Земле существует 14 горных вершин, высота которых над уровнем моря превышает 8000 метров. Их называют "восьмитысячниками". Самая высокая из них — гора Эверест (Джомолунгма), её высота составляет 8848,86 м. Поскольку такие горы реально существуют, это множество не является пустым.
Ответ: не является пустым множеством.

3) множество прямоугольников, сумма углов которых равна 361°
Согласно теореме о сумме углов многоугольника, сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника, включая прямоугольник, всегда равна $ 360° $. У прямоугольника все четыре угла прямые, то есть равны $ 90° $. Их сумма составляет $ 4 \times 90° = 360° $. Невозможно существование прямоугольника с суммой углов, равной $ 361° $. Таким образом, это множество не содержит ни одного элемента.
Ответ: пустое множество.

901. Дано множество $A = \{5, 7, 8\}$. Укажите верное утверждение:

1) $6 \in A$;

2) $8 \notin A$;

3) $7 \in A$.

Дано множество $A = \{5, 7, 8\}$. Чтобы найти верное утверждение, необходимо проверить каждое из предложенных на истинность.

Знак $ \in $ означает, что элемент принадлежит множеству. Например, запись $x \in A$ читается как "элемент $x$ принадлежит множеству $A$".

Знак $ \notin $ означает, что элемент не принадлежит множеству. Запись $y \notin A$ читается как "элемент $y$ не принадлежит множеству $A$".

Рассмотрим по порядку каждое утверждение:

1) $6 \in A$

Это утверждение гласит, что число 6 является элементом множества $A$. Множество $A$ состоит из элементов $\{5, 7, 8\}$. Число 6 не входит в это множество. Следовательно, данное утверждение является ложным.
Ответ: неверно.

2) $8 \notin A$

Это утверждение гласит, что число 8 не является элементом множества $A$. Однако, посмотрев на элементы множества $A = \{5, 7, 8\}$, мы видим, что число 8 в нем присутствует. Следовательно, данное утверждение является ложным. Верным было бы утверждение $8 \in A$.
Ответ: неверно.

3) $7 \in A$

Это утверждение гласит, что число 7 является элементом множества $A$. Во множестве $A = \{5, 7, 8\}$ действительно есть элемент 7. Следовательно, данное утверждение является истинным.
Ответ: верно.

902. Дано множество $B = \{2, 9, 12\}$. Укажите неверное утверждение:

1) $12 \in B$;

2) $5 \in B$;

3) $2 \notin B$.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждое из трёх утверждений на истинность, исходя из определения множества $B = \{2, 9, 12\}$. Неверным будет то утверждение, которое является ложным.

1) $12 \in B$. Это утверждение читается как "12 является элементом множества B" или "12 принадлежит множеству B". Знак $\in$ обозначает принадлежность элементу множества. Мы видим, что в множестве $B = \{2, 9, 12\}$ число 12 присутствует. Следовательно, данное утверждение верное.

2) $5 \in B$. Это утверждение читается как "5 является элементом множества B". Проверив состав множества $B = \{2, 9, 12\}$, мы видим, что число 5 в нем отсутствует. Следовательно, данное утверждение неверное.

3) $2 \notin B$. Это утверждение читается как "2 не является элементом множества B" или "2 не принадлежит множеству B". Знак $\notin$ является отрицанием принадлежности. Однако, элемент 2 присутствует в множестве $B = \{2, 9, 12\}$. Таким образом, утверждение о том, что 2 не принадлежит множеству B, является ложным. Следовательно, данное утверждение неверное.

В задаче требуется указать неверное утверждение. В результате анализа мы выяснили, что утверждения под номерами 2 и 3 являются неверными (ложными). Это может указывать на опечатку в условии задачи. Оба варианта являются правильным ответом на вопрос. Ответ: 2) и 3).

903. Поставьте вместо звёздочки символ $\in$ или символ $\notin$ так, чтобы получилось верное утверждение:

1) $2 * \mathbb{Z};$

2) $-5 * \mathbb{N};$

3) $0,7 * \mathbb{Q}.$

1) Чтобы определить, какой символ, $ \in $ (принадлежит) или $ \notin $ (не принадлежит), нужно поставить вместо звёздочки в выражении $ 2 * \mathbb{Z} $, необходимо понять, что такое множество $ \mathbb{Z} $.
Множество целых чисел $ \mathbb{Z} $ включает в себя все натуральные числа, им противоположные числа и ноль. То есть, $ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} $.
Число 2 является целым положительным числом, следовательно, оно принадлежит множеству целых чисел.
Таким образом, верное утверждение: $ 2 \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ 2 \in \mathbb{Z} $

2) Рассмотрим выражение $ -5 * \mathbb{N} $.
Множество натуральных чисел $ \mathbb{N} $ — это множество, используемое для счёта предметов. Как правило, в школьной программе России натуральные числа - это целые положительные числа: $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} $.
Число -5 является целым, но отрицательным, поэтому оно не входит в множество натуральных чисел.
Следовательно, -5 не принадлежит множеству натуральных чисел.
Верное утверждение: $ -5 \notin \mathbb{N} $.
Ответ: $ -5 \notin \mathbb{N} $

3) Проанализируем выражение $ 0,7 * \mathbb{Q} $.
Множество рациональных чисел $ \mathbb{Q} $ — это множество чисел, которые могут быть представлены в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число, а $ n $ — натуральное число.
Десятичную дробь 0,7 можно представить в виде обыкновенной дроби: $ 0,7 = \frac{7}{10} $.
В этой дроби числитель $ m = 7 $ является целым числом, а знаменатель $ n = 10 $ является натуральным числом.
Следовательно, число 0,7 является рациональным и принадлежит множеству $ \mathbb{Q} $.
Верное утверждение: $ 0,7 \in \mathbb{Q} $.
Ответ: $ 0,7 \in \mathbb{Q} $

904. Поставьте вместо звездочки символ $\in$ или символ $\notin$ так, чтобы получилось верное утверждение:

1) $-4 * \mathbb{N}$;

2) $4,3 * \mathbb{Q}$;

3) $0 * \mathbb{Z}$.

1) Для того чтобы определить, какой символ ($\in$ или $\notin$) следует поставить в выражении $-4 * \mathbb{N}$, необходимо понять, что такое множество натуральных чисел $\mathbb{N}$. Множество натуральных чисел — это числа, которые используются при счете предметов: $1, 2, 3, ...$ и так далее. Оно включает в себя все целые положительные числа.
Число $-4$ является целым, но оно отрицательное. Так как натуральные числа — это только положительные целые числа, $-4$ не входит в это множество.
Следовательно, нужно использовать символ «не принадлежит» ($\notin$).
Получаем верное утверждение: $-4 \notin \mathbb{N}$.
Ответ: $-4 \notin \mathbb{N}$.

2) Рассмотрим выражение $4,3 * \mathbb{Q}$. Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ включает все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$).
Число $4,3$ является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. В данном случае: $4,3 = \frac{43}{10}$.
Здесь числитель $p=43$ является целым числом, а знаменатель $q=10$ — натуральным числом. Это полностью соответствует определению рационального числа.
Таким образом, число $4,3$ принадлежит множеству рациональных чисел, и мы должны использовать символ «принадлежит» ($\in$).
Получаем верное утверждение: $4,3 \in \mathbb{Q}$.
Ответ: $4,3 \in \mathbb{Q}$.

3) Проанализируем выражение $0 * \mathbb{Z}$. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ состоит из натуральных чисел ($1, 2, 3, ...$), чисел, им противоположных ($-1, -2, -3, ...$), и нуля.
То есть, $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
Как видно из определения, число $0$ является одним из элементов множества целых чисел.
Следовательно, нужно использовать символ «принадлежит» ($\in$).
Получаем верное утверждение: $0 \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $0 \in \mathbb{Z}$.

905. Запишите с помощью фигурных скобок множество:

1) натуральных делителей числа 10;

2) букв слова «алгебра»;

3) правильных дробей со знаменателем 6.

1) Множество натуральных делителей числа 10 включает все натуральные (целые положительные) числа, на которые 10 делится без остатка. Чтобы найти эти делители, мы можем последовательно проверять натуральные числа, начиная с 1.
$10 \div 1 = 10$ (1 является делителем)
$10 \div 2 = 5$ (2 является делителем)
$10 \div 3$ (деление с остатком)
$10 \div 4$ (деление с остатком)
$10 \div 5 = 2$ (5 является делителем)
Числа от 6 до 9 не являются делителями 10.
$10 \div 10 = 1$ (10 является делителем)
Таким образом, множество натуральных делителей числа 10 записывается так:
Ответ: $\{1, 2, 5, 10\}$

2) Множество букв слова «алгебра» состоит из уникальных букв, которые присутствуют в этом слове. В множестве каждый элемент указывается только один раз, даже если он встречается в слове несколько раз. Слово «алгебра» содержит буквы: а, л, г, е, б, р, а. Буква «а» повторяется, поэтому в множество мы ее запишем один раз.
Ответ: {а, л, г, е, б, р}

3) Правильная дробь — это дробь, у которой числитель является натуральным числом и меньше знаменателя. В нашем случае знаменатель равен 6. Следовательно, числитель может быть любым натуральным числом от 1 до 5. Перечислим все такие дроби.
Числители: 1, 2, 3, 4, 5.
Соответствующие правильные дроби: $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}$.
Запишем их в виде множества:
Ответ: $\{\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}\}$