Номер 6, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 21. Понятие множества. Числовые промежутки. Глава 2. Функции - номер 6, страница 159.

Условие.

6. Опишите связь между множеством действительных чисел ($\mathbb{R}$) и множеством точек координатной прямой.

Решение 1.

Решение 5.

Связь между множеством действительных чисел, обозначаемым как $R$, и множеством точек координатной прямой является фундаментальным понятием в математике, известным как взаимно однозначное соответствие. Это означает, что между этими двумя множествами можно установить такую связь, при которой:

1. Каждому действительному числу соответствует одна и только одна точка на координатной прямой.
2. Каждой точке на координатной прямой соответствует одно и только одно действительное число, называемое ее координатой.

Для установления этого соответствия на прямой линии необходимо задать:
• Начало отсчета (или начало координат) — некоторую точку $O$, которой сопоставляется число 0.
• Единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за единицу. Это позволяет измерять расстояния на прямой.
• Положительное направление — один из двух возможных лучей, исходящих из точки $O$. Обычно его указывают стрелкой.

Такая прямая называется координатной или числовой прямой. Любому положительному действительному числу $x$ на ней соответствует точка, расположенная на расстоянии $x$ единичных отрезков от начала отсчета в положительном направлении. Любому отрицательному числу $-x$ соответствует точка, расположенная на расстоянии $x$ от начала отсчета в отрицательном направлении.

Важно отметить, что множество действительных чисел полностью "заполняет" координатную прямую. В отличие от множества рациональных чисел, которое оставляет на прямой "пробелы" (соответствующие иррациональным числам, таким как $\sqrt{2}$ или $\pi$), множество действительных чисел обеспечивает непрерывность прямой. Между любыми двумя различными точками на прямой всегда найдется бесконечно много других точек, и всем им соответствуют действительные числа.

Ответ: Между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому действительному числу соответствует ровно одна точка на прямой, и каждой точке на прямой соответствует ровно одно действительное число.