Номер 7, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 21. Понятие множества. Числовые промежутки. Глава 2. Функции - номер 7, страница 159.

Условие.

7. По какой формуле находят длину отрезка, зная координаты его концов?

Решение 1.

Решение 5.

Длину отрезка по координатам его концов находят по формуле, которая является обобщением теоремы Пифагора для разных пространств (на прямой, на плоскости, в пространстве). Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Отрезок на координатной прямой (в одном измерении)

Если отрезок лежит на координатной оси, то его концы, точки A и B, имеют по одной координате: $A(x_1)$ и $B(x_2)$. Длина отрезка (или расстояние между точками) — это модуль разности их координат.

Формула: $d = |x_2 - x_1|$

Модуль используется, так как длина не может быть отрицательной величиной.

Ответ: $d = |x_2 - x_1|$

Случай 2: Отрезок на плоскости (в двух измерениях)

Это наиболее часто встречающийся случай в школьном курсе геометрии. Пусть даны две точки на плоскости с координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Чтобы найти расстояние между ними, можно достроить прямоугольный треугольник, где отрезок AB будет гипотенузой, а катеты будут параллельны осям координат.

Длина катета, параллельного оси Ox, равна $|x_2 - x_1|$.
Длина катета, параллельного оси Oy, равна $|y_2 - y_1|$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Отсюда, извлекая квадратный корень, получаем формулу для нахождения длины отрезка на плоскости:

Ответ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Случай 3: Отрезок в пространстве (в трех измерениях)

Формула для пространства является логичным продолжением формулы для плоскости. Пусть концы отрезка имеют координаты в трехмерном пространстве: $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Расстояние между ними (длина отрезка AB) вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

Ответ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$