Номер 5, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 21. Понятие множества. Числовые промежутки. Глава 2. Функции - номер 5, страница 159.

Условие.

5. В виде какой дроби можно представить иррациональное число?

Решение 1.

Решение 5.

По своему определению, иррациональное число — это вещественное число, которое нельзя представить в виде обыкновенной (простой) дроби вида $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($q \ne 0$).

Любое число, которое можно записать в виде такой дроби, называется рациональным. Десятичное представление рационального числа является либо конечным (например, $\frac{1}{4} = 0.25$), либо бесконечным периодическим (например, $\frac{1}{3} = 0.333\dots$). В отличие от них, десятичное представление иррационального числа всегда является бесконечным и непериодическим (например, число $\pi \approx 3.14159265\dots$ или $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$).

Однако существует другой вид дробей, с помощью которых можно представить иррациональные числа. Это бесконечные непрерывные (или цепные) дроби.

Непрерывная дробь — это математическое выражение вида: $ a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \dots}}} $ где $a_0$ — целое число, а все остальные $a_k$ (для $k \ge 1$) — натуральные числа.

• Если число рациональное, его представление в виде непрерывной дроби всегда будет конечным.
• Если число иррациональное, его представление в виде непрерывной дроби всегда будет бесконечным.

Например, иррациональное число $\sqrt{2}$ можно представить в виде следующей бесконечной непрерывной дроби: $ \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}} $

Таким образом, ответ на вопрос зависит от того, какой тип дроби имеется в виду.

Ответ: Иррациональное число нельзя представить в виде обыкновенной дроби (отношения двух целых чисел), но его можно представить в виде бесконечной непрерывной (цепной) дроби.