Номер 957, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Связи между величинами. Функция. Глава 2. Функции - номер 957, страница 170.

Условие.

957. Рассмотрим правило, по которому каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при делении его на $7$. Является ли это правило функцией? В случае утвердительного ответа найдите область определения и область значений этой функции.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Является ли это правило функцией?
Да, данное правило является функцией. По определению, функция — это такое правило, по которому каждому элементу одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества (области значений).
В нашей задаче каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие остаток от деления этого числа на 7. Согласно теореме о делении с остатком, для любого целого числа $n$ и натурального числа $d=7$ существуют единственные целые числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток), такие, что $n = 7 \cdot q + r$, где $0 \le r < 7$.
Поскольку для каждого натурального числа $n$ существует ровно один, однозначно определенный остаток $r$, это правило удовлетворяет определению функции.
Ответ: Да, это правило является функцией.

Область определения функции
Область определения функции — это множество всех значений, которые может принимать её аргумент. По условию задачи, правило применяется «каждому натуральному числу». Множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$. Это множество всех целых положительных чисел.
$N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.
Следовательно, областью определения данной функции является множество всех натуральных чисел.
Ответ: Область определения функции — множество натуральных чисел $N$.

Область значений функции
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать сама функция. В данном случае — это множество всех возможных остатков при делении натурального числа на 7. Из теоремы о делении с остатком известно, что остаток $r$ при делении на 7 должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 7$. Таким образом, возможными значениями остатка являются целые числа из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Покажем, что каждое из этих значений достигается:
- остаток 0 получается при делении числа 7 на 7 ($7 = 7 \cdot 1 + 0$);
- остаток 1 получается при делении числа 1 на 7 ($1 = 7 \cdot 0 + 1$);
- остаток 2 получается при делении числа 2 на 7 ($2 = 7 \cdot 0 + 2$);
- остаток 3 получается при делении числа 3 на 7 ($3 = 7 \cdot 0 + 3$);
- остаток 4 получается при делении числа 4 на 7 ($4 = 7 \cdot 0 + 4$);
- остаток 5 получается при делении числа 5 на 7 ($5 = 7 \cdot 0 + 5$);
- остаток 6 получается при делении числа 6 на 7 ($6 = 7 \cdot 0 + 6$).
Так как все возможные остатки от 0 до 6 могут быть получены, область значений функции — это множество целых чисел от 0 до 6.
Ответ: Область значений функции — множество $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.