Номер 946, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Связи между величинами. Функция. Глава 2. Функции - номер 946, страница 167.

Условие.

946. Каждому неотрицательному числу поставили в соответствие само это число, а каждому отрицательному числу — число, ему противоположное. Является ли такое правило функцией?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним определение функции. Функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества. В данном случае область определения — это множество всех чисел.

Проанализируем данное правило, разбив его на две части, как указано в условии.

Каждому неотрицательному числу поставили в соответствие само это число.
Это означает, что если мы берем любое число $x$, которое больше или равно нулю ($x \ge 0$), то ему в соответствие ставится само это число $x$. Например, числу 10 соответствует число 10, числу 0 соответствует число 0, а числу 3.14 соответствует число 3.14. Для любого такого числа $x$ результат однозначен и равен $x$.

Каждому отрицательному числу — число, ему противоположное.
Это означает, что если мы берем любое число $x$, которое меньше нуля ($x < 0$), то ему в соответствие ставится противоположное ему число, то есть $-x$. Например, числу -5 соответствует число $-(-5) = 5$, а числу -100 соответствует число 100. Для любого такого отрицательного числа $x$ результат также однозначен и равен $-x$.

Таким образом, мы видим, что для любого действительного числа $x$ (и неотрицательного, и отрицательного) данное правило задает один и только один соответствующий ему результат. Ни одно число не осталось без соответствующего значения, и ни одному числу не соответствует более одного значения.

Следовательно, данное правило удовлетворяет определению функции. Эта функция хорошо известна в математике и называется модулем или абсолютной величиной числа. Её принято записывать с помощью знака модуля: $y = |x|$. Формально она определяется так: $$ |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $$

Ответ: Да, данное правило является функцией.