Номер 1234, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1234, страница 234.

Условие.

1234. Сумма двух чисел равна 28, а разность их квадратов составляет 112.

Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть первое число будет $x$, а второе число — $y$.

Согласно условию задачи, сумма этих двух чисел равна 28. Составим первое уравнение:

$x + y = 28$

Также из условия известно, что разность их квадратов составляет 112. Составим второе уравнение:

$x^2 - y^2 = 112$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 28 \\ x^2 - y^2 = 112 \end{cases}$

Во втором уравнении используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(x - y)(x + y) = 112$

Теперь мы можем подставить значение $(x + y)$ из первого уравнения ($x + y = 28$) в преобразованное второе уравнение:

$(x - y) \cdot 28 = 112$

Отсюда найдем разность чисел $x$ и $y$:

$x - y = \frac{112}{28}$

$x - y = 4$

Теперь у нас есть новая система из двух линейных уравнений, которую легко решить:

$\begin{cases} x + y = 28 \\ x - y = 4 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 28 + 4$

$2x = 32$

$x = \frac{32}{2}$

$x = 16$

Теперь, зная $x$, найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение исходной системы:

$16 + y = 28$

$y = 28 - 16$

$y = 12$

Проверим найденные числа. Их сумма: $16 + 12 = 28$. Разность их квадратов: $16^2 - 12^2 = 256 - 144 = 112$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 16 и 12.