Номер 7.52, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.52. В десятичной записи числа содержатся 300 единиц и несколько нулей (других цифр нет). Может ли это число быть точным квадратом?

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами делимости чисел на 9.

Пусть $N$ — это число, которое состоит из 300 единиц и некоторого количества нулей. Сумма цифр этого числа, обозначим ее $S(N)$, равна количеству единиц, так как нули не вносят вклада в сумму.

Сумма цифр числа $N$ равна:

$S(N) = 300 \cdot 1 = 300$

Известно, что любое натуральное число дает такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр. Это можно записать в виде сравнения по модулю:

$N \equiv S(N) \pmod{9}$

Подставим значение суммы цифр нашего числа:

$N \equiv 300 \pmod{9}$

Найдем остаток от деления 300 на 9:

$300 = 9 \cdot 33 + 3$

Следовательно, остаток от деления числа $N$ на 9 равен 3, то есть $N \equiv 3 \pmod{9}$.

Теперь выясним, какие остатки могут давать полные (точные) квадраты целых чисел при делении на 9. Пусть $m$ — произвольное целое число. Рассмотрим возможные остатки $m$ при делении на 9 и соответствующие им остатки $m^2$:

• Если $m \equiv 0 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 1 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 2 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 3 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 4 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 5 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 5^2 = 25 \equiv 7 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 6 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 6^2 = 36 \equiv 0 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 7 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 7^2 = 49 \equiv 4 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 8 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 8^2 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$

Таким образом, точный квадрат при делении на 9 может давать только остатки из множества $\{0, 1, 4, 7\}$.

Наше число $N$ дает остаток 3 при делении на 9. Поскольку 3 не является одним из возможных остатков для точного квадрата, число, состоящее из 300 единиц и любого количества нулей, не может быть точным квадратом.

Ответ: Нет, такое число не может быть точным квадратом.