Номер 7.51, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.51. В десятичной записи 12-значного числа k цифры 2 и 9 встречаются по 2 раза, а остальные – по одному разу. Может ли k быть точным квадратом?

Для того чтобы определить, может ли число $k$ быть точным квадратом, воспользуемся свойствами делимости чисел.

Сначала определим набор цифр, из которых состоит число $k$. Согласно условию, в 12-значном числе $k$ цифры 2 и 9 встречаются по два раза. Остальные десятичные цифры (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8) встречаются по одному разу.

Таким образом, полный набор 12-ти цифр числа $k$ выглядит так: {0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9}.

Теперь найдем сумму $S$ всех этих цифр. $S = 0 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 = 56$.

В теории чисел существует свойство, согласно которому любое натуральное число имеет такой же остаток при делении на 3, что и сумма его цифр. Найдем остаток от деления числа $k$ на 3, который будет равен остатку от деления суммы его цифр $S$ на 3:

$k \equiv S \pmod 3$
$k \equiv 56 \pmod 3$

Поскольку $56 = 18 \times 3 + 2$, остаток от деления 56 на 3 равен 2. Следовательно, и число $k$ при делении на 3 дает остаток 2:

$k \equiv 2 \pmod 3$

Теперь рассмотрим, какие остатки могут иметь точные квадраты целых чисел при делении на 3. Пусть $n$ — произвольное целое число.

• Если $n$ делится на 3 без остатка ($n \equiv 0 \pmod 3$), то его квадрат $n^2$ также делится на 3 без остатка. $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod 3$.
• Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 ($n \equiv 1 \pmod 3$), то его квадрат $n^2$ также дает остаток 1. $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 3$.
• Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 ($n \equiv 2 \pmod 3$), то его квадрат $n^2$ дает остаток 1. $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod 3$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Точный квадрат никогда не дает остаток 2 при делении на 3.

Мы установили, что число $k$ дает остаток 2 при делении на 3. Следовательно, оно не может быть точным квадратом.

Ответ: нет, не может.