Номер 7.45, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.45. Что больше:

1) $5^{300}$ или $3^{500}$;

2) $2^{700}$ или $5^{300}$;

3) $2^{300}$ или $3^{200}$?

1) Чтобы сравнить числа $5^{300}$ и $3^{500}$, приведем их к одинаковому показателю степени. Наибольший общий делитель для показателей 300 и 500 равен 100. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, представим числа в следующем виде:

$5^{300} = 5^{3 \cdot 100} = (5^3)^{100}$

$3^{500} = 3^{5 \cdot 100} = (3^5)^{100}$

Теперь необходимо сравнить основания получившихся степеней: $5^3$ и $3^5$.

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Поскольку $125 < 243$, то и $(5^3)^{100} < (3^5)^{100}$. Следовательно, $5^{300} < 3^{500}$.

Ответ: $3^{500}$ больше.

2) Сравним числа $2^{700}$ и $5^{300}$. Наибольший общий делитель для показателей 700 и 300 равен 100. Приведем степени к общему показателю 100:

$2^{700} = 2^{7 \cdot 100} = (2^7)^{100}$

$5^{300} = 5^{3 \cdot 100} = (5^3)^{100}$

Теперь сравним основания $2^7$ и $5^3$.

$2^7 = 128$

$5^3 = 125$

Так как $128 > 125$, то $(2^7)^{100} > (5^3)^{100}$. Следовательно, $2^{700} > 5^{300}$.

Ответ: $2^{700}$ больше.

3) Сравним числа $2^{300}$ и $3^{200}$. Наибольший общий делитель для показателей 300 и 200 равен 100. Приведем степени к общему показателю 100:

$2^{300} = 2^{3 \cdot 100} = (2^3)^{100}$

$3^{200} = 3^{2 \cdot 100} = (3^2)^{100}$

Сравним основания $2^3$ и $3^2$.

$2^3 = 8$

$3^2 = 9$

Поскольку $8 < 9$, то $(2^3)^{100} < (3^2)^{100}$. Следовательно, $2^{300} < 3^{200}$.

Ответ: $3^{200}$ больше.