Номер 7.39, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.39. Докажите, что сумма $333^{555}+555^{333}$ кратна 37.

Для того чтобы доказать, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ кратна 37, преобразуем данное выражение, проанализировав его слагаемые.

Сначала рассмотрим основания степеней: числа 333 и 555. Найдем их связь с числом 37. Заметим, что число 111 делится на 37:

$111 = 3 \times 37$

Используя этот факт, разложим на множители числа 333 и 555:

$333 = 3 \times 111 = 3 \times (3 \times 37) = 9 \times 37$

$555 = 5 \times 111 = 5 \times (3 \times 37) = 15 \times 37$

Таким образом, оба числа, 333 и 555, делятся на 37 без остатка.

Теперь подставим полученные разложения в исходную сумму:

$333^{555} + 555^{333} = (9 \times 37)^{555} + (15 \times 37)^{333}$

Воспользуемся свойством степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и раскроем скобки в каждом слагаемом:

$9^{555} \cdot 37^{555} + 15^{333} \cdot 37^{333}$

Мы видим, что оба слагаемых содержат множитель 37 в некоторой степени. Мы можем вынести общий множитель за скобки. В качестве общего множителя возьмем наименьшую степень числа 37, то есть $37^{333}$:

$37^{333} \cdot (9^{555} \cdot 37^{555-333} + 15^{333})$

Упростим показатель степени у числа 37 в скобках:

$37^{333} \cdot (9^{555} \cdot 37^{222} + 15^{333})$

Обозначим выражение в скобках как $K$: $K = 9^{555} \cdot 37^{222} + 15^{333}$. Поскольку это выражение является суммой и произведением целых чисел, $K$ также является целым числом.

Тогда исходную сумму можно записать в виде произведения:

$333^{555} + 555^{333} = 37^{333} \cdot K$

Из полученного выражения видно, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ является произведением целого числа $K$ и числа $37^{333}$. Это означает, что сумма делится на $37^{333}$, и, следовательно, она делится на 37.

Таким образом, мы доказали, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ кратна 37.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $333^{555} + 555^{333}$ кратна 37, так как каждое из оснований (333 и 555) кратно 37, что позволяет вынести множитель $37^{333}$ за скобки, доказывая делимость всей суммы на 37.