Номер 7.42, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.42. Число $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 20$ представьте в виде произведения простых множителей (в виде канонического разложения).

Требуется найти каноническое разложение числа $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 20$. Это число является факториалом числа 20 и обозначается как $20!$. Каноническое разложение числа — это его представление в виде произведения простых чисел, возведенных в натуральные степени: $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$.

Сначала определим все простые числа, которые не превышают 20. Это и будут простые множители в разложении числа $20!$: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$.

Далее для каждого простого множителя $p$ найдем его степень $a$ в разложении $20!$. Степень простого числа $p$ в каноническом разложении числа $n!$ вычисляется по формуле Лежандра: $a = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$.

В нашей задаче $n=20$. Рассчитаем степени для каждого простого множителя.

Степень для p = 2:
$a_2 = \lfloor \frac{20}{2} \rfloor + \lfloor \frac{20}{4} \rfloor + \lfloor \frac{20}{8} \rfloor + \lfloor \frac{20}{16} \rfloor = 10 + 5 + 2 + 1 = 18$.

Степень для p = 3:
$a_3 = \lfloor \frac{20}{3} \rfloor + \lfloor \frac{20}{9} \rfloor = 6 + 2 = 8$.

Степень для p = 5:
$a_5 = \lfloor \frac{20}{5} \rfloor + \lfloor \frac{20}{25} \rfloor = 4 + 0 = 4$.

Степень для p = 7:
$a_7 = \lfloor \frac{20}{7} \rfloor + \lfloor \frac{20}{49} \rfloor = 2 + 0 = 2$.

Степени для p = 11, 13, 17, 19:
Для этих простых чисел $p^2 > 20$, поэтому в формуле Лежандра достаточно вычислить только первое слагаемое:
$a_{11} = \lfloor \frac{20}{11} \rfloor = 1$.
$a_{13} = \lfloor \frac{20}{13} \rfloor = 1$.
$a_{17} = \lfloor \frac{20}{17} \rfloor = 1$.
$a_{19} = \lfloor \frac{20}{19} \rfloor = 1$.

Теперь, собрав все найденные степени, записываем каноническое разложение числа $20!$:
$20! = 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11^1 \cdot 13^1 \cdot 17^1 \cdot 19^1$.

Ответ: $2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$.