Номер 7.47, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.47. Найдите последнюю цифру числа:

1) $9^{2003}$

2) $3^{2003}$

3) $2^{2003}$

1) Чтобы найти последнюю цифру числа $9^{2003}$, необходимо проанализировать, как меняется последняя цифра степеней числа 9. Найдем последние цифры для нескольких первых степеней:

• $9^1 = 9$ (последняя цифра 9)
• $9^2 = 81$ (последняя цифра 1)
• $9^3 = 729$ (последняя цифра 9)
• $9^4 = 6561$ (последняя цифра 1)

Видно, что последние цифры степеней числа 9 образуют цикл длиной 2: (9, 1). Если показатель степени нечетный, последняя цифра равна 9. Если показатель степени четный, последняя цифра равна 1.

Показатель степени 2003 — нечетное число. Следовательно, последняя цифра числа $9^{2003}$ будет 9.

Ответ: 9

2) Чтобы найти последнюю цифру числа $3^{2003}$, рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 3:

• $3^1 = 3$ (последняя цифра 3)
• $3^2 = 9$ (последняя цифра 9)
• $3^3 = 27$ (последняя цифра 7)
• $3^4 = 81$ (последняя цифра 1)
• $3^5 = 243$ (последняя цифра 3)

Последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру для $3^{2003}$, нужно определить, на каком месте в этом цикле она находится. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 2003 на длину цикла 4.

Делим 2003 на 4: $2003 = 4 \times 500 + 3$.

Остаток от деления равен 3. Это означает, что последняя цифра числа $3^{2003}$ совпадает с третьей цифрой в нашем цикле, то есть с последней цифрой числа $3^3$.

Последняя цифра числа $3^3 = 27$ — это 7.

Ответ: 7

3) Чтобы найти последнюю цифру числа $2^{2003}$, изучим последовательность последних цифр степеней числа 2:

• $2^1 = 2$ (последняя цифра 2)
• $2^2 = 4$ (последняя цифра 4)
• $2^3 = 8$ (последняя цифра 8)
• $2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
• $2^5 = 32$ (последняя цифра 2)

Последние цифры степеней числа 2 повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Как и в предыдущем случае, для нахождения последней цифры числа $2^{2003}$ нужно найти остаток от деления 2003 на 4.

Как мы уже рассчитали, остаток от деления 2003 на 4 равен 3: $2003 = 4 \times 500 + 3$.

Остаток 3 означает, что последняя цифра $2^{2003}$ будет такой же, как и третья цифра в цикле, то есть последняя цифра числа $2^3$.

Последняя цифра числа $2^3 = 8$ — это 8.

Ответ: 8