Страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.42. Число $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 20$ представьте в виде произведения простых множителей (в виде канонического разложения).

Требуется найти каноническое разложение числа $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 20$. Это число является факториалом числа 20 и обозначается как $20!$. Каноническое разложение числа — это его представление в виде произведения простых чисел, возведенных в натуральные степени: $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$.

Сначала определим все простые числа, которые не превышают 20. Это и будут простые множители в разложении числа $20!$: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$.

Далее для каждого простого множителя $p$ найдем его степень $a$ в разложении $20!$. Степень простого числа $p$ в каноническом разложении числа $n!$ вычисляется по формуле Лежандра: $a = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$.

В нашей задаче $n=20$. Рассчитаем степени для каждого простого множителя.

Степень для p = 2:
$a_2 = \lfloor \frac{20}{2} \rfloor + \lfloor \frac{20}{4} \rfloor + \lfloor \frac{20}{8} \rfloor + \lfloor \frac{20}{16} \rfloor = 10 + 5 + 2 + 1 = 18$.

Степень для p = 3:
$a_3 = \lfloor \frac{20}{3} \rfloor + \lfloor \frac{20}{9} \rfloor = 6 + 2 = 8$.

Степень для p = 5:
$a_5 = \lfloor \frac{20}{5} \rfloor + \lfloor \frac{20}{25} \rfloor = 4 + 0 = 4$.

Степень для p = 7:
$a_7 = \lfloor \frac{20}{7} \rfloor + \lfloor \frac{20}{49} \rfloor = 2 + 0 = 2$.

Степени для p = 11, 13, 17, 19:
Для этих простых чисел $p^2 > 20$, поэтому в формуле Лежандра достаточно вычислить только первое слагаемое:
$a_{11} = \lfloor \frac{20}{11} \rfloor = 1$.
$a_{13} = \lfloor \frac{20}{13} \rfloor = 1$.
$a_{17} = \lfloor \frac{20}{17} \rfloor = 1$.
$a_{19} = \lfloor \frac{20}{19} \rfloor = 1$.

Теперь, собрав все найденные степени, записываем каноническое разложение числа $20!$:
$20! = 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11^1 \cdot 13^1 \cdot 17^1 \cdot 19^1$.

Ответ: $2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$.

7.43. Дано произведение чисел $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 100$. Его кратко записывают в виде $100!$ и читают: «Сто факториал».

1) На сколько нулей оканчивается число, полученное в результате умножения данных чисел?

2) На какую наибольшую степень числа 2 делится число $100!$?

1) Количество нулей на конце числа определяется количеством множителей 10 в его разложении на простые множители. Так как $10 = 2 \times 5$, нам нужно найти, сколько пар множителей 2 и 5 содержится в произведении $100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 100$.

В разложении 100! на простые множители двоек будет значительно больше, чем пятерок (поскольку каждое второе число — четное, а кратное пяти — только каждое пятое). Следовательно, количество нулей на конце числа 100! будет равно показателю степени, с которым простое число 5 входит в его разложение.

Чтобы найти этот показатель, нужно посчитать, сколько чисел от 1 до 100 делятся на 5, сколько на $5^2 = 25$, сколько на $5^3 = 125$ и так далее, а затем сложить полученные результаты. Для этого можно воспользоваться формулой Лежандра:

$E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$.

Для $n=100$ и $p=5$ имеем:

$E_5(100!) = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor + \lfloor \frac{100}{125} \rfloor + \dots$

$E_5(100!) = 20 + 4 + 0 + \dots = 24$

Таким образом, в разложении числа 100! на простые множители содержится 24 пятерки. Это означает, что число 100! оканчивается на 24 нуля.

Ответ: 24.

2) Этот вопрос сводится к нахождению показателя степени, с которым простое число 2 входит в разложение числа 100! на множители. Снова применим формулу Лежандра, но на этот раз для $p=2$ и $n=100$:

$E_2(100!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{100}{2^k} \rfloor$

Вычислим сумму, последовательно находя слагаемые:

$E_2(100!) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{4} \rfloor + \lfloor \frac{100}{8} \rfloor + \lfloor \frac{100}{16} \rfloor + \lfloor \frac{100}{32} \rfloor + \lfloor \frac{100}{64} \rfloor + \lfloor \frac{100}{128} \rfloor + \dots$

$E_2(100!) = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 0 + \dots = 97$

Следовательно, наибольшая степень числа 2, на которую делится число 100!, равна 97. Это значит, что 100! делится на $2^{97}$, но не делится на $2^{98}$.

Ответ: 97.

7.44. Докажите, что пятая степень натурального числа и само это число оканчиваются одинаковыми цифрами.

Чтобы доказать, что пятая степень натурального числа $n$ и само это число $n$ оканчиваются на одну и ту же цифру, необходимо показать, что их разность, $n^5 - n$, делится на 10. В терминах сравнений по модулю это записывается как $n^5 \equiv n \pmod{10}$.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 5, так как 2 и 5 являются взаимно простыми числами. Следовательно, задача сводится к доказательству двух утверждений:

1. $n^5 - n$ делится на 2.

2. $n^5 - n$ делится на 5.

Доказательство делимости на 2

Разложим выражение $n^5 - n$ на множители: $n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2+1)$.

Произведение $(n-1)n$ представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из этих чисел обязательно является чётным, поэтому их произведение всегда делится на 2. Так как один из множителей в выражении $(n-1)n(n+1)(n^2+1)$ делится на 2, то и всё произведение делится на 2.

Доказательство делимости на 5

Здесь мы можем применить Малую теорему Ферма. Она утверждает, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$ выполняется сравнение: $a^p \equiv a \pmod{p}$.

В нашем случае $p=5$ (простое число) и $a=n$. Согласно теореме, получаем: $n^5 \equiv n \pmod{5}$.

Это сравнение по определению означает, что разность $n^5 - n$ делится на 5.

Заключение

Мы доказали, что выражение $n^5 - n$ делится и на 2, и на 5. Поскольку 2 и 5 взаимно просты, то $n^5 - n$ должно делиться на их произведение, то есть на $2 \cdot 5 = 10$.

Если разность двух чисел делится на 10, это означает, что они имеют одинаковый остаток при делении на 10, а последняя цифра числа и есть его остаток от деления на 10. Следовательно, $n^5$ и $n$ оканчиваются на одну и ту же цифру. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность $n^5 - n$ для любого натурального $n$ всегда делится на 10, из чего следует, что числа $n^5$ и $n$ имеют одинаковую последнюю цифру.

7.45. Что больше:

1) $5^{300}$ или $3^{500}$;

2) $2^{700}$ или $5^{300}$;

3) $2^{300}$ или $3^{200}$?

1) Чтобы сравнить числа $5^{300}$ и $3^{500}$, приведем их к одинаковому показателю степени. Наибольший общий делитель для показателей 300 и 500 равен 100. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, представим числа в следующем виде:

$5^{300} = 5^{3 \cdot 100} = (5^3)^{100}$

$3^{500} = 3^{5 \cdot 100} = (3^5)^{100}$

Теперь необходимо сравнить основания получившихся степеней: $5^3$ и $3^5$.

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Поскольку $125 < 243$, то и $(5^3)^{100} < (3^5)^{100}$. Следовательно, $5^{300} < 3^{500}$.

Ответ: $3^{500}$ больше.

2) Сравним числа $2^{700}$ и $5^{300}$. Наибольший общий делитель для показателей 700 и 300 равен 100. Приведем степени к общему показателю 100:

$2^{700} = 2^{7 \cdot 100} = (2^7)^{100}$

$5^{300} = 5^{3 \cdot 100} = (5^3)^{100}$

Теперь сравним основания $2^7$ и $5^3$.

$2^7 = 128$

$5^3 = 125$

Так как $128 > 125$, то $(2^7)^{100} > (5^3)^{100}$. Следовательно, $2^{700} > 5^{300}$.

Ответ: $2^{700}$ больше.

3) Сравним числа $2^{300}$ и $3^{200}$. Наибольший общий делитель для показателей 300 и 200 равен 100. Приведем степени к общему показателю 100:

$2^{300} = 2^{3 \cdot 100} = (2^3)^{100}$

$3^{200} = 3^{2 \cdot 100} = (3^2)^{100}$

Сравним основания $2^3$ и $3^2$.

$2^3 = 8$

$3^2 = 9$

Поскольку $8 < 9$, то $(2^3)^{100} < (3^2)^{100}$. Следовательно, $2^{300} < 3^{200}$.

Ответ: $3^{200}$ больше.

7.46. Запишите число $2^{2002} \cdot 5^{2003}$ в стандартном виде.

Чтобы записать число в стандартном виде, его необходимо представить в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

Рассмотрим данное число: $2^{2002} \cdot 5^{2003}$.

Для получения степени числа 10, которое равно $2 \cdot 5$, нам нужно сгруппировать множители 2 и 5 с одинаковым показателем степени. Наименьший из показателей в выражении — 2002.

Представим множитель $5^{2003}$ в виде произведения, используя свойство степеней $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$:

$5^{2003} = 5^{2002+1} = 5^{2002} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{2002}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$2^{2002} \cdot 5^{2003} = 2^{2002} \cdot (5 \cdot 5^{2002})$

Перегруппируем множители для удобства:

$5 \cdot (2^{2002} \cdot 5^{2002})$

Используем свойство степени произведения $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$:

$5 \cdot (2 \cdot 5)^{2002}$

Выполним умножение в скобках:

$5 \cdot 10^{2002}$

Полученное выражение $5 \cdot 10^{2002}$ является стандартным видом числа, так как коэффициент $a=5$ удовлетворяет неравенству $1 \le 5 < 10$, а показатель степени $n=2002$ — целое число.

Ответ: $5 \cdot 10^{2002}$

7.47. Найдите последнюю цифру числа:

1) $9^{2003}$

2) $3^{2003}$

3) $2^{2003}$

1) Чтобы найти последнюю цифру числа $9^{2003}$, необходимо проанализировать, как меняется последняя цифра степеней числа 9. Найдем последние цифры для нескольких первых степеней:

• $9^1 = 9$ (последняя цифра 9)
• $9^2 = 81$ (последняя цифра 1)
• $9^3 = 729$ (последняя цифра 9)
• $9^4 = 6561$ (последняя цифра 1)

Видно, что последние цифры степеней числа 9 образуют цикл длиной 2: (9, 1). Если показатель степени нечетный, последняя цифра равна 9. Если показатель степени четный, последняя цифра равна 1.

Показатель степени 2003 — нечетное число. Следовательно, последняя цифра числа $9^{2003}$ будет 9.

Ответ: 9

2) Чтобы найти последнюю цифру числа $3^{2003}$, рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 3:

• $3^1 = 3$ (последняя цифра 3)
• $3^2 = 9$ (последняя цифра 9)
• $3^3 = 27$ (последняя цифра 7)
• $3^4 = 81$ (последняя цифра 1)
• $3^5 = 243$ (последняя цифра 3)

Последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру для $3^{2003}$, нужно определить, на каком месте в этом цикле она находится. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 2003 на длину цикла 4.

Делим 2003 на 4: $2003 = 4 \times 500 + 3$.

Остаток от деления равен 3. Это означает, что последняя цифра числа $3^{2003}$ совпадает с третьей цифрой в нашем цикле, то есть с последней цифрой числа $3^3$.

Последняя цифра числа $3^3 = 27$ — это 7.

Ответ: 7

3) Чтобы найти последнюю цифру числа $2^{2003}$, изучим последовательность последних цифр степеней числа 2:

• $2^1 = 2$ (последняя цифра 2)
• $2^2 = 4$ (последняя цифра 4)
• $2^3 = 8$ (последняя цифра 8)
• $2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
• $2^5 = 32$ (последняя цифра 2)

Последние цифры степеней числа 2 повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Как и в предыдущем случае, для нахождения последней цифры числа $2^{2003}$ нужно найти остаток от деления 2003 на 4.

Как мы уже рассчитали, остаток от деления 2003 на 4 равен 3: $2003 = 4 \times 500 + 3$.

Остаток 3 означает, что последняя цифра $2^{2003}$ будет такой же, как и третья цифра в цикле, то есть последняя цифра числа $2^3$.

Последняя цифра числа $2^3 = 8$ — это 8.

Ответ: 8

7.48. Какой цифрой оканчивается число $9119^{1919}$?

Для того чтобы определить, какой цифрой оканчивается число $9119^{191^{919}}$, необходимо проанализировать последнюю цифру основания и четность показателя степени.

Последняя цифра любого числа, возведенного в степень, зависит только от последней цифры самого этого числа. Основание нашего числа — 9119, его последняя цифра — 9. Значит, задача сводится к нахождению последней цифры числа $9^{191^{919}}$.

Рассмотрим, какие последние цифры имеют степени числа 9:
$9^1 = 9$
$9^2 = 81$ (последняя цифра 1)
$9^3 = 729$ (последняя цифра 9)
$9^4 = 6561$ (последняя цифра 1)
Мы видим закономерность: если показатель степени — нечетное число, то результат оканчивается на 9; если показатель степени — четное число, то результат оканчивается на 1.

Теперь определим четность показателя степени $191^{919}$. Четность степени зависит от четности ее основания. Основание степени, число 191, является нечетным. При возведении нечетного числа в любую натуральную степень результат всегда будет нечетным числом (так как произведение нечетных чисел всегда нечетно). Следовательно, показатель $191^{919}$ — нечетное число.

Поскольку показатель степени $191^{919}$ является нечетным, то последняя цифра числа $9^{191^{919}}$ будет 9. Соответственно, и число $9119^{191^{919}}$ оканчивается на ту же цифру.

Ответ: 9

7.49. Какой цифрой оканчивается сумма $1999^{2003}+9991^{2002}$?

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается сумма $1999^{2003} + 9991^{2002}$, найдем последнюю цифру каждого слагаемого по отдельности. Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры основания.

1. Найдем последнюю цифру числа $1999^{2003}$. Она совпадает с последней цифрой числа $9^{2003}$. Рассмотрим, как меняется последняя цифра у степеней числа 9:
$9^1 = 9$
$9^2 = 81$ (оканчивается на 1)
$9^3 = 729$ (оканчивается на 9)
$9^4 = 6561$ (оканчивается на 1)
Мы видим, что если показатель степени нечетный, то число оканчивается на 9, а если четный — на 1. Поскольку показатель степени 2003 является нечетным числом, то число $1999^{2003}$ оканчивается на 9.

2. Найдем последнюю цифру числа $9991^{2002}$. Она совпадает с последней цифрой числа $1^{2002}$. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, всегда будет оканчиваться на 1. Следовательно, число $9991^{2002}$ оканчивается на 1.

3. Чтобы найти последнюю цифру суммы, нужно сложить последние цифры слагаемых:
$9 + 1 = 10$.
Сумма оканчивается на ту же цифру, что и число 10, то есть на 0.

Ответ: 0

7.50. Какой цифрой оканчивается разность $43^{43}-17^{17}$?

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается разность $43^{43} - 17^{17}$, необходимо найти последние цифры уменьшаемого ($43^{43}$) и вычитаемого ($17^{17}$), а затем найти последнюю цифру результата их вычитания.

Поиск последней цифры числа $43^{43}$

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Следовательно, последняя цифра $43^{43}$ такая же, как у $3^{43}$.

Выпишем последние цифры первых нескольких степеней числа 3:

$3^1$ оканчивается на 3
$3^2$ оканчивается на 9
$3^3$ оканчивается на 7
$3^4$ оканчивается на 1
$3^5$ оканчивается на 3

Как видно, последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы узнать последнюю цифру $3^{43}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 43 на длину цикла 4.

$43 \div 4 = 10$ с остатком 3. Это можно записать как $43 = 4 \cdot 10 + 3$.

Остаток 3 означает, что последняя цифра $3^{43}$ будет такой же, как у третьего члена в цикле, то есть 7.

Поиск последней цифры числа $17^{17}$

Аналогично, последняя цифра $17^{17}$ совпадает с последней цифрой $7^{17}$.

Выпишем последние цифры первых нескольких степеней числа 7:

$7^1$ оканчивается на 7
$7^2$ оканчивается на 9
$7^3$ оканчивается на 3
$7^4$ оканчивается на 1
$7^5$ оканчивается на 7

Здесь последние цифры также повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Найдем остаток от деления показателя 17 на 4.

$17 \div 4 = 4$ с остатком 1. Это можно записать как $17 = 4 \cdot 4 + 1$.

Остаток 1 означает, что последняя цифра $7^{17}$ будет такой же, как у первого члена в цикле, то есть 7.

Нахождение последней цифры разности

Мы выяснили, что число $43^{43}$ оканчивается на 7, и число $17^{17}$ также оканчивается на 7. Чтобы найти последнюю цифру их разности, нужно найти последнюю цифру результата вычитания $(\dots7) - (\dots7)$.

Так как $7 - 7 = 0$, последняя цифра разности $43^{43} - 17^{17}$ равна 0.

Ответ: 0

7.51. В десятичной записи 12-значного числа k цифры 2 и 9 встречаются по 2 раза, а остальные – по одному разу. Может ли k быть точным квадратом?

Для того чтобы определить, может ли число $k$ быть точным квадратом, воспользуемся свойствами делимости чисел.

Сначала определим набор цифр, из которых состоит число $k$. Согласно условию, в 12-значном числе $k$ цифры 2 и 9 встречаются по два раза. Остальные десятичные цифры (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8) встречаются по одному разу.

Таким образом, полный набор 12-ти цифр числа $k$ выглядит так: {0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9}.

Теперь найдем сумму $S$ всех этих цифр. $S = 0 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 = 56$.

В теории чисел существует свойство, согласно которому любое натуральное число имеет такой же остаток при делении на 3, что и сумма его цифр. Найдем остаток от деления числа $k$ на 3, который будет равен остатку от деления суммы его цифр $S$ на 3:

$k \equiv S \pmod 3$
$k \equiv 56 \pmod 3$

Поскольку $56 = 18 \times 3 + 2$, остаток от деления 56 на 3 равен 2. Следовательно, и число $k$ при делении на 3 дает остаток 2:

$k \equiv 2 \pmod 3$

Теперь рассмотрим, какие остатки могут иметь точные квадраты целых чисел при делении на 3. Пусть $n$ — произвольное целое число.

• Если $n$ делится на 3 без остатка ($n \equiv 0 \pmod 3$), то его квадрат $n^2$ также делится на 3 без остатка. $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod 3$.
• Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 ($n \equiv 1 \pmod 3$), то его квадрат $n^2$ также дает остаток 1. $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 3$.
• Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 ($n \equiv 2 \pmod 3$), то его квадрат $n^2$ дает остаток 1. $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod 3$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Точный квадрат никогда не дает остаток 2 при делении на 3.

Мы установили, что число $k$ дает остаток 2 при делении на 3. Следовательно, оно не может быть точным квадратом.

Ответ: нет, не может.

7.52. В десятичной записи числа содержатся 300 единиц и несколько нулей (других цифр нет). Может ли это число быть точным квадратом?

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами делимости чисел на 9.

Пусть $N$ — это число, которое состоит из 300 единиц и некоторого количества нулей. Сумма цифр этого числа, обозначим ее $S(N)$, равна количеству единиц, так как нули не вносят вклада в сумму.

Сумма цифр числа $N$ равна:

$S(N) = 300 \cdot 1 = 300$

Известно, что любое натуральное число дает такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр. Это можно записать в виде сравнения по модулю:

$N \equiv S(N) \pmod{9}$

Подставим значение суммы цифр нашего числа:

$N \equiv 300 \pmod{9}$

Найдем остаток от деления 300 на 9:

$300 = 9 \cdot 33 + 3$

Следовательно, остаток от деления числа $N$ на 9 равен 3, то есть $N \equiv 3 \pmod{9}$.

Теперь выясним, какие остатки могут давать полные (точные) квадраты целых чисел при делении на 9. Пусть $m$ — произвольное целое число. Рассмотрим возможные остатки $m$ при делении на 9 и соответствующие им остатки $m^2$:

• Если $m \equiv 0 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 1 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 2 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 3 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 4 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 5 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 5^2 = 25 \equiv 7 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 6 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 6^2 = 36 \equiv 0 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 7 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 7^2 = 49 \equiv 4 \pmod{9}$
• Если $m \equiv 8 \pmod{9}$, то $m^2 \equiv 8^2 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$

Таким образом, точный квадрат при делении на 9 может давать только остатки из множества $\{0, 1, 4, 7\}$.

Наше число $N$ дает остаток 3 при делении на 9. Поскольку 3 не является одним из возможных остатков для точного квадрата, число, состоящее из 300 единиц и любого количества нулей, не может быть точным квадратом.

Ответ: Нет, такое число не может быть точным квадратом.