Страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.1–7.5 выполните указанные действия.

7.1. 1) $\frac{2x}{15} - \frac{3x}{20} + \frac{x}{12}$;

2) $\frac{4a}{25} - \frac{4a}{35} + \frac{8a}{21}$;

3) $\frac{m}{a - 1} + \frac{n}{1 - a}$.

1)

Чтобы сложить и вычесть дроби $\frac{2x}{15} - \frac{3x}{20} + \frac{x}{12}$, нужно привести их к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 15, 20 и 12.
Разложим знаменатели на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2^2 \cdot 5$
$12 = 2^2 \cdot 3$
НОК(15, 20, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Общий знаменатель равен 60. Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $\frac{2x}{15}$ дополнительный множитель: $60 / 15 = 4$.
Для $\frac{3x}{20}$ дополнительный множитель: $60 / 20 = 3$.
Для $\frac{x}{12}$ дополнительный множитель: $60 / 12 = 5$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:
$\frac{2x \cdot 4}{60} - \frac{3x \cdot 3}{60} + \frac{x \cdot 5}{60} = \frac{8x}{60} - \frac{9x}{60} + \frac{5x}{60}$
Сложим и вычтем числители:
$\frac{8x - 9x + 5x}{60} = \frac{-x + 5x}{60} = \frac{4x}{60}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4x}{60} = \frac{x}{15}$

Ответ: $\frac{x}{15}$

2)

Чтобы выполнить действия с дробями $\frac{4a}{25} - \frac{4a}{35} + \frac{8a}{21}$, приведем их к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 25, 35 и 21.
Разложим знаменатели на простые множители:
$25 = 5^2$
$35 = 5 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
НОК(25, 35, 21) = $3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 3 \cdot 25 \cdot 7 = 525$.

Общий знаменатель равен 525. Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $\frac{4a}{25}$ дополнительный множитель: $525 / 25 = 21$.
Для $\frac{4a}{35}$ дополнительный множитель: $525 / 35 = 15$.
Для $\frac{8a}{21}$ дополнительный множитель: $525 / 21 = 25$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:
$\frac{4a \cdot 21}{525} - \frac{4a \cdot 15}{525} + \frac{8a \cdot 25}{525} = \frac{84a}{525} - \frac{60a}{525} + \frac{200a}{525}$
Сложим и вычтем числители:
$\frac{84a - 60a + 200a}{525} = \frac{24a + 200a}{525} = \frac{224a}{525}$

Сократим полученную дробь. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для 224 и 525.
$224 = 2^5 \cdot 7$
$525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$
НОД(224, 525) = 7.
Разделим числитель и знаменатель на 7:
$\frac{224a \div 7}{525 \div 7} = \frac{32a}{75}$

Ответ: $\frac{32a}{75}$

3)

Чтобы сложить дроби $\frac{m}{a-1} + \frac{n}{1-a}$, нужно привести их к общему знаменателю.

Заметим, что знаменатели отличаются только знаком: $1-a = -(a-1)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся знак минуса из знаменателя:
$\frac{n}{1-a} = \frac{n}{-(a-1)} = -\frac{n}{a-1}$

Теперь исходное выражение можно записать так:
$\frac{m}{a-1} - \frac{n}{a-1}$

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, вычтем их числители:
$\frac{m - n}{a-1}$

Ответ: $\frac{m-n}{a-1}$

7.2. 1) $3x \cdot \frac{y}{12x};$

2) $\frac{3ab}{4xy} \cdot \frac{10x^2y}{21a^2b};$

3) $5x : \frac{15x}{y};$

4) $\frac{12ab}{25c} : 8a^2.$

1) Чтобы выполнить умножение $3x \cdot \frac{y}{12x}$, представим множитель $3x$ в виде дроби со знаменателем 1: $\frac{3x}{1}$. Затем выполним умножение дробей, перемножая числители и знаменатели соответственно: $3x \cdot \frac{y}{12x} = \frac{3x}{1} \cdot \frac{y}{12x} = \frac{3x \cdot y}{1 \cdot 12x} = \frac{3xy}{12x}$. Сократим полученную дробь на общий множитель $3x$. В числителе останется $y$, а в знаменателе $12x : 3x = 4$. $\frac{3xy}{12x} = \frac{y}{4}$.
Ответ: $\frac{y}{4}$

2) Для умножения дробей $\frac{3ab}{4xy}$ и $\frac{10x^2y}{21a^2b}$ перемножим их числители и знаменатели: $\frac{3ab}{4xy} \cdot \frac{10x^2y}{21a^2b} = \frac{3ab \cdot 10x^2y}{4xy \cdot 21a^2b}$. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные для удобства сокращения: $\frac{(3 \cdot 10) \cdot (a \cdot b \cdot x^2 \cdot y)}{(4 \cdot 21) \cdot (x \cdot y \cdot a^2 \cdot b)}$. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 21} = \frac{3 \cdot (2 \cdot 5)}{(2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{5}{2 \cdot 7} = \frac{5}{14}$. Сократим переменные, используя свойства степеней ($\frac{m^n}{m^k} = m^{n-k}$): $\frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$; $\frac{b}{b} = b^{1-1} = b^0 = 1$; $\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x^1 = x$; $\frac{y}{y} = y^{1-1} = y^0 = 1$. Объединяем результаты: $\frac{5}{14} \cdot \frac{1}{a} \cdot x = \frac{5x}{14a}$.
Ответ: $\frac{5x}{14a}$

3) Для выполнения деления $5x : \frac{15x}{y}$, заменим операцию деления на умножение на обратную дробь. Дробь, обратная $\frac{15x}{y}$, это $\frac{y}{15x}$. $5x : \frac{15x}{y} = 5x \cdot \frac{y}{15x}$. Представим $5x$ как $\frac{5x}{1}$ и выполним умножение: $\frac{5x}{1} \cdot \frac{y}{15x} = \frac{5x \cdot y}{1 \cdot 15x} = \frac{5xy}{15x}$. Сократим полученную дробь на общий множитель $5x$. В числителе останется $y$, а в знаменателе $15x : 5x = 3$. $\frac{5xy}{15x} = \frac{y}{3}$.
Ответ: $\frac{y}{3}$

4) Для выполнения деления $\frac{12ab}{25c} : 8a^2$, представим делитель $8a^2$ в виде дроби $\frac{8a^2}{1}$. Затем заменим деление на умножение на обратную дробь: $\frac{12ab}{25c} : \frac{8a^2}{1} = \frac{12ab}{25c} \cdot \frac{1}{8a^2}$. Перемножим дроби: $\frac{12ab \cdot 1}{25c \cdot 8a^2} = \frac{12ab}{200a^2c}$. Сократим полученную дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты $\frac{12}{200}$. Наибольший общий делитель для 12 и 200 это 4. $\frac{12}{200} = \frac{12:4}{200:4} = \frac{3}{50}$. Затем сократим переменные: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$. Объединяем результаты: $\frac{3}{50} \cdot \frac{b}{ac} = \frac{3b}{50ac}$.
Ответ: $\frac{3b}{50ac}$

7.3. 1) $(m+n)(m-n)$;

2) $(x+5)(x-5)$;

3) $(a-3)(3+a)$;

4) $(y+2)(2-y)$.

1) Для раскрытия скобок в выражении $(m+n)(m-n)$ используется формула сокращенного умножения, а именно формула разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
В данном примере $a=m$ и $b=n$. Применив формулу, получаем:
$(m+n)(m-n) = m^2 - n^2$
Ответ: $m^2 - n^2$

2) Выражение $(x+5)(x-5)$ также соответствует формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Здесь в качестве $a$ выступает $x$, а в качестве $b$ — число $5$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x+5)(x-5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$
Ответ: $x^2 - 25$

3) В выражении $(a-3)(3+a)$ для удобства применения формулы разности квадратов поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(3+a) = (a+3)$.
Теперь выражение имеет вид $(a-3)(a+3)$, что полностью соответствует формуле $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a=a$ и $b=3$.
$(a-3)(a+3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$
Ответ: $a^2 - 9$

4) Рассмотрим выражение $(y+2)(2-y)$. Чтобы привести его к стандартному виду формулы разности квадратов, поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(y+2) = (2+y)$.
Получим выражение $(2+y)(2-y)$.
Теперь мы можем применить формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=2$ и $b=y$.
$(2+y)(2-y) = 2^2 - y^2 = 4 - y^2$
Ответ: $4 - y^2$

7.4. 1) $(x+2)^2$;

2) $(3x-y)^2$;

3) $(5a+b)^2$;

4) $(a^2+b^2)^2$.

Для решения данных примеров необходимо использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

1) Применим формулу квадрата суммы для выражения $(x+2)^2$. В данном случае $a=x$, а $b=2$.

$(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

Ответ: $x^2 + 4x + 4$

2) Применим формулу квадрата разности для выражения $(3x-y)^2$. В данном случае $a=3x$, а $b=y$.

$(3x-y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$

Ответ: $9x^2 - 6xy + y^2$

3) Применим формулу квадрата суммы для выражения $(5a+b)^2$. В данном случае $a=5a$, а $b=b$.

$(5a+b)^2 = (5a)^2 + 2 \cdot 5a \cdot b + b^2 = 25a^2 + 10ab + b^2$

Ответ: $25a^2 + 10ab + b^2$

4) Применим формулу квадрата суммы для выражения $(a^2+b^2)^2$. В данном случае $a=a^2$, а $b=b^2$.

$(a^2+b^2)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

Ответ: $a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

7.5. 1) $(x+1)^2(x^2-x+1);$

2) $(a-2)(a^2+2a+4);$

3) $(\frac{m}{2} - 2n)(\frac{m^2}{4} + mn + 4n^2).$

1) Чтобы упростить выражение $(x+1)^2(x^2-x+1)$, сначала представим $(x+1)^2$ как произведение $(x+1)(x+1)$.
Выражение примет вид: $(x+1)(x+1)(x^2-x+1)$.
Сгруппируем множители следующим образом: $(x+1) \cdot \left((x+1)(x^2-x+1)\right)$.
Заметим, что произведение $(x+1)(x^2-x+1)$ соответствует формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
В данном случае, $a=x$ и $b=1$. Применив формулу, получаем: $(x+1)(x^2-x \cdot 1+1^2) = x^3+1^3 = x^3+1$.
Теперь исходное выражение упрощается до $(x+1)(x^3+1)$.
Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$x \cdot x^3 + x \cdot 1 + 1 \cdot x^3 + 1 \cdot 1 = x^4 + x + x^3 + 1$.
Приведем многочлен к стандартному виду, расположив его члены в порядке убывания степеней:
$x^4 + x^3 + x + 1$.
Ответ: $x^4 + x^3 + x + 1$

2) Рассмотрим выражение $(a-2)(a^2+2a+4)$.
Это выражение является примером применения формулы разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.
В нашем случае $x=a$ и $y=2$. Проверим, соответствует ли второй множитель $(a^2+2a+4)$ части формулы $(x^2+xy+y^2)$.
$x^2+xy+y^2 = a^2+a \cdot 2+2^2 = a^2+2a+4$.
Так как он полностью совпадает, мы можем применить формулу.
$(a-2)(a^2+2a+4) = a^3 - 2^3$.
Вычислим значение $2^3$:
$2^3 = 8$.
Таким образом, итоговое выражение равно $a^3 - 8$.
Ответ: $a^3 - 8$

3) Упростим выражение $(\frac{m}{2}-2n)(\frac{m^2}{4}+mn+4n^2)$.
Это выражение также соответствует формуле разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.
Из первого множителя определим $x$ и $y$: $x = \frac{m}{2}$ и $y = 2n$.
Теперь проверим, соответствует ли второй множитель $(\frac{m^2}{4}+mn+4n^2)$ части формулы $(x^2+xy+y^2)$:
$x^2 = (\frac{m}{2})^2 = \frac{m^2}{4}$.
$xy = (\frac{m}{2})(2n) = mn$.
$y^2 = (2n)^2 = 4n^2$.
Сумма этих членов $x^2+xy+y^2 = \frac{m^2}{4} + mn + 4n^2$, что полностью совпадает со вторым множителем в задании.
Применяем формулу разности кубов: $(\frac{m}{2})^3 - (2n)^3$.
Возводим каждый член в куб:
$(\frac{m}{2})^3 = \frac{m^3}{2^3} = \frac{m^3}{8}$.
$(2n)^3 = 2^3 n^3 = 8n^3$.
Окончательный результат: $\frac{m^3}{8} - 8n^3$.
Ответ: $\frac{m^3}{8} - 8n^3$

7.6. Вычислите: 1) $(3ab)^3$ при $a=\frac{1}{2}$, $b=4$;

2) $-\left(\frac{1}{5}xyz\right)^2$ при $x=-2$, $y=-5$, $z=1\frac{3}{4}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $(3ab)^3$ при $a = \frac{1}{2}$ и $b=4$, подставим данные значения в выражение.
Сначала найдем значение произведения в скобках:
$3ab = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 3 \cdot \frac{4}{2} = 3 \cdot 2 = 6$.
Теперь возведем полученный результат в третью степень:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216.

2) Чтобы вычислить значение выражения $-\left(\frac{1}{5}xyz\right)^2$ при $x=-2$, $y=-5$ и $z = 1\frac{3}{4}$, сначала подставим значения переменных.
Представим смешанное число $1\frac{3}{4}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
Подставим все значения в выражение:
$-\left(\frac{1}{5} \cdot (-2) \cdot (-5) \cdot \frac{7}{4}\right)^2$
Вычислим значение в скобках. Произведение двух отрицательных чисел $(-2) \cdot (-5)$ равно $10$.
$\frac{1}{5} \cdot 10 \cdot \frac{7}{4} = \frac{10}{5} \cdot \frac{7}{4} = 2 \cdot \frac{7}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
Теперь возведем полученное число в квадрат и учтем знак минуса перед скобками:
$-\left(\frac{7}{2}\right)^2 = -\left(\frac{7^2}{2^2}\right) = -\frac{49}{4}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$-\frac{49}{4} = -12\frac{1}{4}$.
Ответ: -12\frac{1}{4}.

7.7. Сократите дробь:

1) $ \frac{15x}{20y} $

2) $ \frac{6xy}{8y^2} $

3) $ \frac{2m^2}{3mn} $

4) $ \frac{24a^3}{56a^2b} $

1) Чтобы сократить дробь $\frac{15x}{20y}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов в числителе и знаменателе, а также сократить одинаковые переменные, если они есть.
Коэффициенты 15 и 20. Найдем их НОД.
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 4 \cdot 5$
НОД(15, 20) = 5.
Переменные $x$ и $y$ различны, поэтому их сократить нельзя.
Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{15x}{20y} = \frac{15 \div 5 \cdot x}{20 \div 5 \cdot y} = \frac{3x}{4y}$
Ответ: $\frac{3x}{4y}$

2) Сократим дробь $\frac{6xy}{8y^2}$.
Сначала сократим числовые коэффициенты 6 и 8. Их наибольший общий делитель равен 2.
$6 \div 2 = 3$
$8 \div 2 = 4$
Теперь сократим переменные. В числителе есть $y$, а в знаменателе $y^2$. Мы можем сократить их на $y$:
$\frac{y}{y^2} = \frac{y}{y \cdot y} = \frac{1}{y}$
Объединим результаты:
$\frac{6xy}{8y^2} = \frac{3x \cdot 1}{4y} = \frac{3x}{4y}$
Ответ: $\frac{3x}{4y}$

3) Сократим дробь $\frac{2m^2}{3mn}$.
Числовые коэффициенты 2 и 3 являются взаимно простыми числами, поэтому их сократить нельзя.
Сократим переменные. В числителе есть $m^2$, а в знаменателе $m$. Сократим их на $m$:
$\frac{m^2}{m} = \frac{m \cdot m}{m} = m$
Переменная $n$ остается в знаменателе.
Выполним сокращение:
$\frac{2m^2}{3mn} = \frac{2 \cdot m \cdot m}{3 \cdot m \cdot n} = \frac{2m}{3n}$
Ответ: $\frac{2m}{3n}$

4) Сократим дробь $\frac{24a^3}{56a^2b}$.
Найдем НОД для коэффициентов 24 и 56.
$24 = 8 \cdot 3$
$56 = 8 \cdot 7$
НОД(24, 56) = 8.
Разделим коэффициенты на 8:
$24 \div 8 = 3$
$56 \div 8 = 7$
Теперь сократим степени переменной $a$. Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a^1 = a$
Переменная $b$ остается в знаменателе.
Объединим результаты:
$\frac{24a^3}{56a^2b} = \frac{3a}{7b}$
Ответ: $\frac{3a}{7b}$

7.8. Решите уравнение:

1) $8x-3=5x+6$;

2) $x-7+8x=9x-3-4x$.

1) $8x - 3 = 5x + 6$

Для решения этого линейного уравнения необходимо собрать все слагаемые, содержащие переменную $x$, в одной части уравнения, а все постоянные слагаемые (числа) — в другой. Перенесем $5x$ из правой части в левую с противоположным знаком, а $-3$ из левой части в правую также с противоположным знаком.

$8x - 5x = 6 + 3$

Теперь выполним вычитание в левой части и сложение в правой части, чтобы упростить уравнение:

$(8 - 5)x = 9$

$3x = 9$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{9}{3}$

$x = 3$

Ответ: 3

2) $x - 7 + 8x = 9x - 3 - 4x$

Сначала упростим обе части уравнения, приведя подобные слагаемые. В левой части сложим слагаемые с $x$, в правой части также выполним действия со слагаемыми, содержащими $x$.

Левая часть: $x + 8x - 7 = (1 + 8)x - 7 = 9x - 7$

Правая часть: $9x - 4x - 3 = (9 - 4)x - 3 = 5x - 3$

Теперь уравнение имеет вид:

$9x - 7 = 5x - 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, изменяя их знаки:

$9x - 5x = -3 + 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$4x = 4$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{4}{4}$

$x = 1$

Ответ: 1

7.9. Упростите:

1) $(x^2-9):(x+3);$

2) $(a-b)^2:(a^2-b^2);$

3) $(25-x^2):(x+5).$

1) $(x^2-9):(x+3)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В выражении $(x^2-9)$ имеем $a=x$ и $b=3$, так как $3^2=9$.

Следовательно, мы можем разложить $x^2-9$ на множители: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде дроби и выполнить сокращение:

$(x^2-9):(x+3) = \frac{x^2-9}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$

Сокращаем общий множитель $(x+3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+3)}} = x-3$

Ответ: $x-3$

2) $(a-b)^2:(a^2-b^2)$

Представим данное выражение в виде дроби. Для знаменателя $(a^2-b^2)$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Числитель $(a-b)^2$ можно записать как произведение $(a-b)(a-b)$.

$(a-b)^2:(a^2-b^2) = \frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(a-b)}(a-b)}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{a-b}{a+b}$

Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$

3) $(25-x^2):(x+5)$

В выражении $(25-x^2)$ также используется формула разности квадратов. Здесь $a=5$ и $b=x$, так как $5^2=25$.

Раскладываем на множители: $25-x^2 = (5-x)(5+x)$.

Перепишем исходное выражение в виде дроби. Заметим, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то есть $x+5 = 5+x$.

$(25-x^2):(x+5) = \frac{25-x^2}{x+5} = \frac{(5-x)(5+x)}{5+x}$

Сокращаем общий множитель $(5+x)$:

$\frac{(5-x)\cancel{(5+x)}}{\cancel{(5+x)}} = 5-x$

Ответ: $5-x$

7.10. Упростите:

1) $-( \frac{1}{3} xy^3 )^2 \cdot (-3x)^3$;

2) $(-5x^3y)^2 \cdot ( \frac{1}{5} ab^3 )^3$;

3) $(-2a^3b)^3 \cdot (-2b)$.

1) Чтобы упростить выражение $-\left(\frac{1}{3}xy^3\right)^2 \cdot (-3x)^3$, выполним следующие действия:

Сначала возведем в степень каждый из одночленов в скобках. Используем свойство степени $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Для первого множителя: $\left(\frac{1}{3}xy^3\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{1}{9}x^2y^{3 \cdot 2} = \frac{1}{9}x^2y^6$.

Для второго множителя: $(-3x)^3 = (-3)^3 \cdot x^3 = -27x^3$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$-\left(\frac{1}{9}x^2y^6\right) \cdot (-27x^3)$

Умножим коэффициенты и переменные. Два знака "минус" дают "плюс":

$\frac{1}{9} \cdot 27 \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot y^6 = 3 \cdot x^{2+3} \cdot y^6 = 3x^5y^6$.

Ответ: $3x^5y^6$.

2) Чтобы упростить выражение $(-5x^3y)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}ab^3\right)^3$, выполним следующие действия:

Возведем в степень каждый из одночленов.

Для первого множителя: $(-5x^3y)^2 = (-5)^2 \cdot (x^3)^2 \cdot y^2 = 25x^{3 \cdot 2}y^2 = 25x^6y^2$.

Для второго множителя: $\left(\frac{1}{5}ab^3\right)^3 = \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3 = \frac{1}{125}a^3b^{3 \cdot 3} = \frac{1}{125}a^3b^9$.

Теперь перемножим полученные одночлены:

$(25x^6y^2) \cdot \left(\frac{1}{125}a^3b^9\right)$

Сгруппируем и умножим коэффициенты и переменные:

$\left(25 \cdot \frac{1}{125}\right) \cdot a^3 \cdot b^9 \cdot x^6 \cdot y^2 = \frac{25}{125} a^3b^9x^6y^2 = \frac{1}{5}a^3b^9x^6y^2$.

Ответ: $\frac{1}{5}a^3b^9x^6y^2$.

3) Чтобы упростить выражение $(-2a^3b)^3 \cdot (-2b)$, выполним следующие действия:

Сначала возведем в степень первый множитель:

$(-2a^3b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot b^3 = -8a^{3 \cdot 3}b^3 = -8a^9b^3$.

Теперь умножим полученное выражение на второй множитель:

$(-8a^9b^3) \cdot (-2b)$

Перемножим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$(-8 \cdot -2) \cdot a^9 \cdot (b^3 \cdot b^1) = 16 \cdot a^9 \cdot b^{3+1} = 16a^9b^4$.

Ответ: $16a^9b^4$.