Страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.93. 1) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x});$

3) $\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a+b}{b};$

2) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a});$

4) $\frac{x - y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}.$

1) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$

Сначала упростим выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

Первая скобка: общим знаменателем для $\frac{x}{y^2}$ и $\frac{1}{x}$ является $xy^2$.

$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{xy^2} - \frac{1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2}$

Вторая скобка: общим знаменателем для $\frac{1}{y}$ и $\frac{1}{x}$ является $xy$.

$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1 \cdot x}{xy} + \frac{1 \cdot y}{xy} = \frac{x+y}{xy}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{x^2 - y^2}{xy^2} : \frac{x+y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

Разложим числитель $x^2 - y^2$ по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$\frac{(x-y)(x+y)}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

Сократим общие множители $(x+y)$, $x$ и $y$ в числителе и знаменателе.

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{(x+y)}} = \frac{x-y}{y}$

Ответ: $\frac{x-y}{y}$

2) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a})$

Упростим выражения в каждой из скобок, приведя их к общему знаменателю.

Первая скобка: $\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{a \cdot m}{m^3} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{am+a^2}{m^3} = \frac{a(m+a)}{m^3}$

Вторая скобка: $\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a} = \frac{m^2}{a^2} + \frac{m \cdot a}{a^2} = \frac{m^2+am}{a^2} = \frac{m(m+a)}{a^2}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь.

$\frac{a(m+a)}{m^3} : \frac{m(m+a)}{a^2} = \frac{a(m+a)}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m(m+a)}$

Сократим общий множитель $(m+a)$.

$\frac{a\cancel{(m+a)}}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m\cancel{(m+a)}} = \frac{a \cdot a^2}{m^3 \cdot m} = \frac{a^3}{m^4}$

Ответ: $\frac{a^3}{m^4}$

3) $\frac{ab+b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a+b}{b}$

В соответствии с порядком действий, сначала выполним деление.

$\frac{ab+b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} = \frac{ab+b^2}{3} \cdot \frac{3a}{b^3}$

В числителе первой дроби вынесем за скобки общий множитель $b$: $ab+b^2 = b(a+b)$.

$\frac{b(a+b)}{3} \cdot \frac{3a}{b^3}$

Сократим общие множители $3$ и $b$.

$\frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}a}{b^{\cancel{3}}b^2} = \frac{a(a+b)}{b^2}$

Теперь выполним сложение с оставшейся дробью.

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b^2$. Для этого вторую дробь домножим на $b$.

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{(a+b) \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{b(a+b)}{b^2}$

Сложим числители дробей.

$\frac{a(a+b) + b(a+b)}{b^2}$

Вынесем в числителе общий множитель $(a+b)$ за скобки.

$\frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$

4) $\frac{x-y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2-xy}{5y}$

Первым действием выполним умножение дробей.

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2-xy}{5y}$

Разложим на множители числитель второй дроби: $x^2-xy = x(x-y)$.

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x-y)}{5y}$

Сократим общие множители $5y$ и $x$.

$\frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}x} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x}$

Теперь выполним вычитание.

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x}$

Так как мы вычитаем из выражения само это выражение, результат равен нулю.

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$

Ответ: $0$

6.94. 1) $(\frac{x}{x+1} + 1) \cdot \frac{1+x}{2x-1}$;

2) $\frac{5y^2}{1-y^2} : (1 - \frac{1}{1-y})$;

3) $(\frac{4a}{2-a} - a) : \frac{a+2}{a-2}$;

4) $\frac{x-2}{x-3} \cdot (x + \frac{x}{2-x})$.

1) Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем 1 к общему знаменателю $x+1$:

$\frac{x}{x+1}+1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x + x + 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное и выполним умножение:

$(\frac{2x+1}{x+1}) \cdot \frac{1+x}{2x-1} = \frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{x+1}{2x-1}$

Сократим одинаковые множители $(x+1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(2x+1) \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot (2x-1)} = \frac{2x+1}{2x-1}$

Упрощение возможно при допустимых значениях переменной $x \ne -1$ и $x \ne \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{2x+1}{2x-1}$

2) Упростим выражение в скобках. Приведем 1 к общему знаменателю $1-y$:

$1 - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Также разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $1-y^2 = (1-y)(1+y)$:

$\frac{5y^2}{1-y^2} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y}$

Сократим общие множители $(1-y)$ и $y$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5y \cdot y \cdot (1-y)}{(1-y)(1+y) \cdot (-y)} = \frac{5y}{-(1+y)} = -\frac{5y}{1+y}$

Упрощение возможно при допустимых значениях переменной $y \ne \pm 1$ и $y \ne 0$.

Ответ: $-\frac{5y}{1+y}$

3) Сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $2-a$:

$\frac{4a}{2-a}-a = \frac{4a}{2-a} - \frac{a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - (2a-a^2)}{2-a} = \frac{4a-2a+a^2}{2-a} = \frac{2a+a^2}{2-a} = \frac{a(2+a)}{2-a}$

Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь. Также заметим, что $2-a = -(a-2)$:

$\frac{a(a+2)}{2-a} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a(a+2)}{-(a-2)} \cdot \frac{a-2}{a+2}$

Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:

$\frac{a(a+2)(a-2)}{-(a-2)(a+2)} = \frac{a}{-1} = -a$

Упрощение возможно при допустимых значениях переменной $a \ne 2$ и $a \ne -2$.

Ответ: $-a$

4) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $2-x$:

$x + \frac{x}{2-x} = \frac{x(2-x)}{2-x} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x-x^2+x}{2-x} = \frac{3x-x^2}{2-x} = \frac{x(3-x)}{2-x}$

Теперь выполним умножение. Вынесем минус за скобки в числителе и знаменателе второй дроби: $3-x = -(x-3)$ и $2-x = -(x-2)$:

$\frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x(3-x)}{2-x} = \frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x \cdot (-(x-3))}{-(x-2)} = \frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{-x(x-3)}{-(x-2)}$

Два минуса дают плюс, поэтому:

$\frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x(x-3)}{x-2}$

Сократим общие множители $(x-2)$ и $(x-3)$:

$\frac{(x-2) \cdot x \cdot (x-3)}{(x-3) \cdot (x-2)} = x$

Упрощение возможно при допустимых значениях переменной $x \ne 3$ и $x \ne 2$.

Ответ: $x$

6.95. 1) $\left(\frac{a+1}{2a-2} + \frac{6}{2a^2-2} - \frac{a+3}{2a+2}\right) \cdot \frac{4a^2-4}{3}$;

2) $\left(\frac{3a}{1-3a} + \frac{2a}{3a+1}\right) : \frac{6a^2+10a}{1-6a+9a^2}$;

3) $(x^2-1) \cdot \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 1\right)$;

4) $\left(1+\frac{a}{x}+\frac{a^2}{x^2}\right) \cdot \left(1-\frac{a}{x}\right) \cdot \frac{x^3}{a^3-x^3}$.

1)

Упростим выражение $(\frac{a+1}{2a-2} + \frac{6}{2a^2-2} - \frac{a+3}{2a+2}) \cdot \frac{4a^2-4}{3}$.
Сначала выполним действия в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель.
$2a-2 = 2(a-1)$
$2a^2-2 = 2(a^2-1) = 2(a-1)(a+1)$
$2a+2 = 2(a+1)$
Общий знаменатель для дробей в скобках — это $2(a-1)(a+1)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{a+1}{2(a-1)} + \frac{6}{2(a-1)(a+1)} - \frac{a+3}{2(a+1)} = \frac{(a+1)(a+1)}{2(a-1)(a+1)} + \frac{6}{2(a-1)(a+1)} - \frac{(a+3)(a-1)}{2(a-1)(a+1)}$
Теперь сложим и вычтем числители:
$\frac{(a+1)^2 + 6 - (a+3)(a-1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{(a^2+2a+1) + 6 - (a^2-a+3a-3)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+7 - (a^2+2a-3)}{2(a-1)(a+1)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{a^2+2a+7-a^2-2a+3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{10}{2(a-1)(a+1)} = \frac{5}{(a-1)(a+1)}$
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь $\frac{4a^2-4}{3}$. Предварительно разложим ее числитель на множители: $4a^2-4 = 4(a^2-1) = 4(a-1)(a+1)$.
$\frac{5}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{4(a-1)(a+1)}{3}$
Сократим общие множители $(a-1)(a+1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3}$
Ответ: $\frac{20}{3}$

2)

Упростим выражение $(\frac{3a}{1-3a} + \frac{2a}{3a+1}) : \frac{6a^2+10a}{1-6a+9a^2}$.
Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель: $(1-3a)(3a+1)$.
$\frac{3a(3a+1)}{(1-3a)(3a+1)} + \frac{2a(1-3a)}{(1-3a)(3a+1)} = \frac{3a(3a+1) + 2a(1-3a)}{(1-3a)(3a+1)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{9a^2+3a+2a-6a^2}{1-9a^2} = \frac{3a^2+5a}{1-9a^2} = \frac{a(3a+5)}{1-9a^2}$
Теперь упростим делитель $\frac{6a^2+10a}{1-6a+9a^2}$. Разложим числитель и знаменатель на множители:
$6a^2+10a = 2a(3a+5)$
$1-6a+9a^2 = (1-3a)^2$ (по формуле квадрата разности)
Таким образом, делитель равен $\frac{2a(3a+5)}{(1-3a)^2}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{a(3a+5)}{1-9a^2} \cdot \frac{(1-3a)^2}{2a(3a+5)}$
Разложим знаменатель первой дроби $1-9a^2 = (1-3a)(1+3a)$:
$\frac{a(3a+5)}{(1-3a)(1+3a)} \cdot \frac{(1-3a)(1-3a)}{2a(3a+5)}$
Сократим общие множители $a$, $(3a+5)$ и $(1-3a)$:
$\frac{1-3a}{2(1+3a)}$
Ответ: $\frac{1-3a}{2(1+3a)}$

3)

Упростим выражение $(x^2-1) \cdot (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 1)$.
Сначала выполним действия в скобках. Приведем все члены к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$.
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{1(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1(x^2-1)}{x^2-1}$
Объединим числители:
$\frac{(x+1) - (x-1) - (x^2-1)}{x^2-1} = \frac{x+1-x+1-x^2+1}{x^2-1} = \frac{3-x^2}{x^2-1}$
Теперь умножим полученный результат на $(x^2-1)$:
$(x^2-1) \cdot \frac{3-x^2}{x^2-1}$
Сократим множитель $(x^2-1)$:
$3-x^2$
Ответ: $3-x^2$

4)

Упростим выражение $(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2}) \cdot (1 - \frac{a}{x}) \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3}$.
Заметим, что произведение первых двух множителей $(1 - \frac{a}{x})(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2})$ является формулой разности кубов $(b-c)(b^2+bc+c^2) = b^3-c^3$, где $b=1$ и $c=\frac{a}{x}$.
$(1 - \frac{a}{x})(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2}) = 1^3 - (\frac{a}{x})^3 = 1 - \frac{a^3}{x^3}$
Приведем полученное выражение к общему знаменателю:
$1 - \frac{a^3}{x^3} = \frac{x^3 - a^3}{x^3}$
Теперь умножим этот результат на третий множитель $\frac{x^3}{a^3 - x^3}$:
$\frac{x^3 - a^3}{x^3} \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3}$
Вынесем $-1$ за скобки в числителе первой дроби: $x^3 - a^3 = -(a^3 - x^3)$.
$\frac{-(a^3 - x^3)}{x^3} \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3}$
Сократим общие множители $x^3$ и $(a^3 - x^3)$:
$-1$
Ответ: $-1$

6.96. 1) $ \left(\frac{b}{a^2 - ab} + \frac{a}{b^2 - ab}\right) \cdot \frac{a^2b + ab^2}{a^2 - b^2}; $

2) $ \left(\frac{2a}{a + 2} + \frac{2a}{6 - 3a} + \frac{8a}{a^2 - 4}\right) : \frac{a - 4}{a - 2}; $

3) $ \left(\frac{a^2 + b^2}{a} + b\right) : \left(\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) \cdot \frac{a^3 - b^3}{a^2 + b^2}\right); $

4) $ \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \frac{x^2 + 2xy + y^2}{2xy}; $

1) Выполним решение по шагам. Сначала упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

$\frac{b}{a^2-ab} + \frac{a}{b^2-ab} = \frac{b}{a(a-b)} + \frac{a}{b(b-a)} = \frac{b}{a(a-b)} - \frac{a}{b(a-b)}$

Общий знаменатель равен $ab(a-b)$.

$\frac{b \cdot b - a \cdot a}{ab(a-b)} = \frac{b^2 - a^2}{ab(a-b)} = \frac{(b-a)(b+a)}{ab(a-b)} = \frac{-(a-b)(a+b)}{ab(a-b)} = -\frac{a+b}{ab}$

Теперь упростим второй множитель.

$\frac{a^2b+ab^2}{a^2-b^2} = \frac{ab(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab}{a-b}$

Наконец, перемножим полученные выражения.

$(-\frac{a+b}{ab}) \cdot \frac{ab}{a-b} = -\frac{ab(a+b)}{ab(a-b)} = -\frac{a+b}{a-b} = \frac{a+b}{b-a}$

Ответ: $\frac{a+b}{b-a}$

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя все дроби к общему знаменателю.

Разложим знаменатели на множители: $6-3a = -3(a-2)$ и $a^2-4 = (a-2)(a+2)$. Общий знаменатель будет $3(a-2)(a+2)$.

$\frac{2a}{a+2} + \frac{2a}{6-3a} + \frac{8a}{a^2-4} = \frac{2a}{a+2} - \frac{2a}{3(a-2)} + \frac{8a}{(a-2)(a+2)}$

$\frac{2a \cdot 3(a-2) - 2a(a+2) + 8a \cdot 3}{3(a-2)(a+2)} = \frac{6a(a-2) - 2a(a+2) + 24a}{3(a^2-4)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.

$\frac{6a^2-12a-2a^2-4a+24a}{3(a^2-4)} = \frac{4a^2+8a}{3(a^2-4)} = \frac{4a(a+2)}{3(a-2)(a+2)} = \frac{4a}{3(a-2)}$

Теперь выполним деление.

$\frac{4a}{3(a-2)} : \frac{a-4}{a-2} = \frac{4a}{3(a-2)} \cdot \frac{a-2}{a-4} = \frac{4a(a-2)}{3(a-2)(a-4)} = \frac{4a}{3(a-4)}$

Ответ: $\frac{4a}{3(a-4)}$

3) Решим по действиям. Сначала выполним действия в каждых скобках по отдельности.

1. Первые скобки:

$\frac{a^2+b^2}{a} + b = \frac{a^2+b^2+ab}{a}$

2. Вторые скобки (сначала сложение, потом умножение):

$(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2} = (\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2} = \frac{a^3-b^3}{a^2b^2}$

3. Теперь разделим результат первого действия на результат второго действия.

$(\frac{a^2+ab+b^2}{a}) : (\frac{a^3-b^3}{a^2b^2})$

Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и заменим деление умножением на обратную дробь.

$\frac{a^2+ab+b^2}{a} \cdot \frac{a^2b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^2b^2}{a(a-b)} = \frac{ab^2}{a-b}$

Ответ: $\frac{ab^2}{a-b}$

4) Сначала выполним действие в скобках.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$

Теперь упростим делитель, используя формулу квадрата суммы $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$.

$\frac{x^2+2xy+y^2}{2xy} = \frac{(x+y)^2}{2xy}$

Выполним деление.

$(\frac{x+y}{xy}) : (\frac{(x+y)^2}{2xy}) = \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{2xy}{(x+y)^2}$

Сократим общие множители $xy$ и $(x+y)$.

$\frac{2}{x+y}$

Ответ: $\frac{2}{x+y}$

6.97. 1) $(m+1-\frac{1}{1-m}):(m-\frac{m^2}{m-1});$

2) $(\frac{2ab}{4a^2-9b^2}-\frac{b}{2a-3b}):(1-\frac{2a-3b}{2a+3b});$

3) $\frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2};$

4) $\frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}+\frac{2-y}{x-3}.$

1)

Исходное выражение: $\left(m+1-\frac{1}{1-m}\right) : \left(m-\frac{m^2}{m-1}\right)$

Сначала упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $1-m = -(m-1)$, поэтому $-\frac{1}{1-m} = \frac{1}{m-1}$.

$m+1-\frac{1}{1-m} = m+1+\frac{1}{m-1}$

Приведем к общему знаменателю $(m-1)$:

$\frac{(m+1)(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-1^2+1}{m-1} = \frac{m^2-1+1}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$m-\frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1)}{m-1} - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m^2-m-m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}$

Теперь выполним деление:

$\frac{m^2}{m-1} : \frac{-m}{m-1}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{-m} = \frac{m^2(m-1)}{(m-1)(-m)}$

Сокращаем общие множители $m$ и $(m-1)$:

$\frac{m}{-1} = -m$

Ответ: $-m$

2)

Исходное выражение: $\left(\frac{2ab}{4a^2-9b^2} - \frac{b}{2a-3b}\right) : \left(1-\frac{2a-3b}{2a+3b}\right)$

Упростим выражение в первой скобке. Разложим знаменатель $4a^2-9b^2$ по формуле разности квадратов: $4a^2-9b^2 = (2a-3b)(2a+3b)$.

$\frac{2ab}{(2a-3b)(2a+3b)} - \frac{b}{2a-3b}$

Приведем к общему знаменателю $(2a-3b)(2a+3b)$:

$\frac{2ab}{(2a-3b)(2a+3b)} - \frac{b(2a+3b)}{(2a-3b)(2a+3b)} = \frac{2ab - b(2a+3b)}{(2a-3b)(2a+3b)}$

$\frac{2ab - 2ab - 3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)} = \frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)}$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$1-\frac{2a-3b}{2a+3b} = \frac{2a+3b}{2a+3b} - \frac{2a-3b}{2a+3b} = \frac{2a+3b-(2a-3b)}{2a+3b}$

$\frac{2a+3b-2a+3b}{2a+3b} = \frac{6b}{2a+3b}$

Выполним деление результатов:

$\frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)} : \frac{6b}{2a+3b} = \frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)} \cdot \frac{2a+3b}{6b}$

Сократим общие множители $(2a+3b)$, $b$ и числовые коэффициенты:

$\frac{-\cancel{3}b^{\cancel{2}}}{ (2a-3b)\cancel{(2a+3b)}} \cdot \frac{\cancel{(2a+3b)}}{\cancel{6}_2 \cancel{b}} = \frac{-b}{2(2a-3b)}$

Ответ: $\frac{-b}{2(2a-3b)}$

3)

Исходное выражение: $\frac{b-c}{a+b} - \frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$

Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Разложим числители и знаменатели дробей на множители:

$\frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2} = \frac{b(a-b)}{a(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $(a-c)$:

$\frac{b\cancel{(a-b)}}{a\cancel{(a-c)}} \cdot \frac{\cancel{(a-c)}(a+c)}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{b(a+c)}{a(a+b)}$

Теперь выполним вычитание, подставив полученный результат в исходное выражение:

$\frac{b-c}{a+b} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+b)$:

$\frac{a(b-c)}{a(a+b)} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)} = \frac{a(b-c) - b(a+c)}{a(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ab-ac - ab - bc}{a(a+b)} = \frac{-ac - bc}{a(a+b)}$

Вынесем общий множитель $(-c)$ за скобки в числителе:

$\frac{-c(a+b)}{a(a+b)}$

Сократим дробь на $(a+b)$:

$\frac{-c\cancel{(a+b)}}{a\cancel{(a+b)}} = -\frac{c}{a}$

Ответ: $-\frac{c}{a}$

4)

Исходное выражение: $\frac{a^2-4}{x^2-9} : \frac{a^2-2a}{xy+3y} + \frac{2-y}{x-3}$

Сначала выполним деление. Для этого разложим числители и знаменатели на множители:

$\frac{a^2-4}{x^2-9} : \frac{a^2-2a}{xy+3y} = \frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)} : \frac{a(a-2)}{y(x+3)}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{y(x+3)}{a(a-2)}$

Сократим общие множители $(a-2)$ и $(x+3)$:

$\frac{\cancel{(a-2)}(a+2)}{(x-3)\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{y\cancel{(x+3)}}{a\cancel{(a-2)}} = \frac{y(a+2)}{a(x-3)}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{2-y}{x-3}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(x-3)$:

$\frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{a(2-y)}{a(x-3)} = \frac{y(a+2) + a(2-y)}{a(x-3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ay+2y + 2a-ay}{a(x-3)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2y+2a}{a(x-3)}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(y+a)}{a(x-3)}$

Ответ: $\frac{2(a+y)}{a(x-3)}$