Страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.98. 1) $\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left( \frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right)$;

2) $\left( \frac{x - 2y}{x^2 - 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x + 2y}{(2y - x)^2} \right) \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2}$.

1)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действие в скобках — сложение дробей.

1. Для начала упростим знаменатели дробей в скобках, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$ и квадрат суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

Выражение в скобках примет вид:

$\frac{1}{(y - x)(y + x)} + \frac{1}{(x + y)^2}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю $(y - x)(y + x)^2$:

$\frac{1 \cdot (y+x)}{(y-x)(y+x)^2} + \frac{1 \cdot (y-x)}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}$

3. Теперь выполним деление. Заменим знак деления на умножение и перевернем вторую дробь:

$\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y}$

4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{4}^2 x \cancel{y}}{\cancel{(y-x)}\cancel{(y+x)}} \cdot \frac{\cancel{(y-x)}(y+x)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}\cancel{y}} = 2x(y+x)$

Результат можно также записать как $2x(x+y)$.

Ответ: $2x(x+y)$

2)

Решим данное выражение по действиям, соблюдая их порядок: сначала деление в скобках, затем вычитание и, наконец, умножение.

1. Выполним деление в скобках: $\frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x + 2y}{(2y - x)^2}$.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.

Также учтем, что $(2y - x)^2 = (-(x - 2y))^2 = (x - 2y)^2$.

Заменяем деление умножением на обратную дробь и сокращаем:

$\frac{1}{(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{(x-2y)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-2y)}(x+2y)(x+2y)} = \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{x-2y}{x^2-2xy} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$

Упростим первую дробь, вынеся общий множитель $x$ в знаменателе:

$\frac{x-2y}{x(x-2y)} = \frac{1}{x}$

Теперь вычитание выглядит так:

$\frac{1}{x} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2y)^2$:

$\frac{1 \cdot (x+2y)^2}{x(x+2y)^2} - \frac{x \cdot (x-2y)}{x(x+2y)^2} = \frac{(x^2+4xy+4y^2) - (x^2-2xy)}{x(x+2y)^2} = \frac{x^2+4xy+4y^2-x^2+2xy}{x(x+2y)^2} = \frac{6xy+4y^2}{x(x+2y)^2}$

Вынесем общий множитель $2y$ в числителе: $\frac{2y(3x+2y)}{x(x+2y)^2}$.

3. Выполним последнее действие — умножение:

$\frac{2y(3x+2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2}$

Сократим общие множители $(x+2y)^2$ и $2y$:

$\frac{\cancel{2y}(3x+2y)}{x \cancel{(x+2y)^2}} \cdot \frac{\cancel{(x+2y)^2}}{\cancel{4y^2}^{2y}} = \frac{3x+2y}{x \cdot 2y} = \frac{3x+2y}{2xy}$

Ответ: $\frac{3x+2y}{2xy}$

6.99. 1) $(\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an}) : (\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2});$

2) $(\frac{2x^2+x}{x^3-1} - \frac{x+1}{x^2+x+1}) \cdot (1+\frac{x+1}{x} - \frac{x+5}{x+1}).$

1)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в первых скобках.

$\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an}$

Знаменатель второй дроби $a^2+n^2+2an$ является полным квадратом суммы $(a+n)^2$.

$\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{(a+n)^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a+n)^2$:

$\frac{a^2(a+n)}{(a+n)^2} - \frac{a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^3+a^2n-a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2n}{(a+n)^2}$

Теперь упростим выражение во вторых скобках.

$\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2}$

Знаменатель второй дроби $a^2-n^2$ разложим по формуле разности квадратов: $(a-n)(a+n)$.

$\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-n)(a+n)$:

$\frac{a(a-n)}{(a-n)(a+n)} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2-an-a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{-an}{(a-n)(a+n)}$

Выполним деление результатов.

$\frac{a^2n}{(a+n)^2} : \frac{-an}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2n}{(a+n)^2} \cdot \frac{(a-n)(a+n)}{-an}$

Сокращаем общие множители $an$ и $(a+n)$:

$\frac{a \cdot an \cdot (a-n)(a+n)}{(a+n)(a+n)(-1)an} = \frac{a(a-n)}{-(a+n)} = -\frac{a(a-n)}{a+n} = \frac{a(n-a)}{a+n}$

Ответ: $\frac{a(n-a)}{a+n}$.

2)

Упростим выражение по действиям, начиная с первой скобки.

$\frac{2x^2+x}{x^3-1} - \frac{x+1}{x^2+x+1}$

Знаменатель первой дроби $x^3-1$ разложим по формуле разности кубов: $(x-1)(x^2+x+1)$.

$\frac{2x^2+x}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{x+1}{x^2+x+1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x^2+x+1)$:

$\frac{2x^2+x}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{2x^2+x-(x^2-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}$

Сократим дробь на $(x^2+x+1)$:

$\frac{1}{x-1}$

Теперь упростим выражение во второй скобке.

$1 + \frac{x+1}{x} - \frac{x+5}{x+1}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{x(x+1)}{x(x+1)} + \frac{(x+1)^2}{x(x+1)} - \frac{x(x+5)}{x(x+1)} = \frac{(x^2+x) + (x^2+2x+1) - (x^2+5x)}{x(x+1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2+x+x^2+2x+1-x^2-5x}{x(x+1)} = \frac{x^2-2x+1}{x(x+1)}$

Числитель $x^2-2x+1$ является полным квадратом разности $(x-1)^2$.

$\frac{(x-1)^2}{x(x+1)}$

Выполним умножение результатов.

$\frac{1}{x-1} \cdot \frac{(x-1)^2}{x(x+1)} = \frac{(x-1)^2}{(x-1)x(x+1)}$

Сократим дробь на $(x-1)$:

$\frac{x-1}{x(x+1)}$

Ответ: $\frac{x-1}{x(x+1)}$.

6.100. 1) ( $ \frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2} $ ) : ( $ \frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a} $ );

2) ( $ \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x^3+1} + \frac{3}{x^2-x+1} $ ) ( $ x - \frac{2x-1}{x+1} $ ).

1) $(\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}) : (\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a})$

Решим задачу по действиям. Сначала упростим выражения в каждой из скобок.

Первое действие (выражение в первой скобке):

$\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}$

Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом суммы: $4a^2+4ab+b^2 = (2a+b)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2a+b)^2$:

$\frac{2a(2a+b)}{(2a+b)^2} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2a(2a+b) - 4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{4a^2+2ab-4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2ab}{(2a+b)^2}$

Второе действие (выражение во второй скобке):

$\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a}$

Знаменатель первой дроби — это разность квадратов: $4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b)$.

Преобразуем вторую дробь, изменив знак в знаменателе: $\frac{1}{b-2a} = \frac{1}{-(2a-b)} = -\frac{1}{2a-b}$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(2a-b)(2a+b)$:

$\frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1}{2a-b} = \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a - (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a-2a-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)}$

Третье действие (деление результатов):

Разделим результат первого действия на результат второго. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{2ab}{(2a+b)^2} : \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a-b)(2a+b)}{-b}$

Сократим общие множители $b$ и $(2a+b)$:

$\frac{2a}{2a+b} \cdot \frac{2a-b}{-1} = -\frac{2a(2a-b)}{2a+b} = \frac{2a(b-2a)}{2a+b}$

Ответ: $\frac{2a(b-2a)}{2a+b}$

2) $(\frac{1}{x+1} - \frac{3}{x^3+1} + \frac{3}{x^2-x+1}) (x - \frac{2x-1}{x+1})$

Решим по действиям.

Первое действие (выражение в первой скобке):

$\frac{1}{x+1} - \frac{3}{x^3+1} + \frac{3}{x^2-x+1}$

Используем формулу суммы кубов для знаменателя второй дроби: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$. Этот знаменатель будет общим для всех трех дробей.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1(x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} - \frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{3(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}$

Объединим числители:

$\frac{(x^2-x+1) - 3 + 3(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^2-x+1-3+3x+3}{x^3+1} = \frac{x^2+2x+1}{x^3+1}$

Числитель является полным квадратом: $x^2+2x+1 = (x+1)^2$.

$\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x+1}{x^2-x+1}$

Второе действие (выражение во второй скобке):

$x - \frac{2x-1}{x+1}$

Приведем к общему знаменателю $(x+1)$:

$\frac{x(x+1)}{x+1} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{x(x+1)-(2x-1)}{x+1} = \frac{x^2+x-2x+1}{x+1} = \frac{x^2-x+1}{x+1}$

Третье действие (умножение результатов):

Умножим результат первого действия на результат второго:

$(\frac{x+1}{x^2-x+1}) \cdot (\frac{x^2-x+1}{x+1})$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$(\frac{\cancel{x+1}}{\cancel{x^2-x+1}}) \cdot (\frac{\cancel{x^2-x+1}}{\cancel{x+1}}) = 1$

Ответ: $1$

6.101. 1) $\frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3(x-1)}{x^2-4} - \frac{3}{x-2}$;

2) $\left(\frac{a-1}{3a+(a-1)^2} - \frac{1-2a+a^2}{a^3-1} - \frac{1}{a-1}\right) : \frac{a^2+1}{1-a}$.

1)

Упростим выражение, выполняя действия по порядку. Сначала умножение, затем вычитание.

1. Разложим на множители знаменатели в первом произведении, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ и разность квадратов $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$\frac{x+2}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{3(x-1)}{x^2-4} = \frac{x+2}{(x-1)^2} \cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)}$

2. Сократим общие множители $(x+2)$ и $(x-1)$:

$\frac{\cancel{x+2}}{(x-1)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3(\cancel{x-1})}{(x-2)(\cancel{x+2})} = \frac{3}{(x-1)(x-2)}$

3. Теперь выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$.

$\frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2} = \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

4. Выполним вычитание числителей:

$\frac{3 - 3(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3 - 3x + 3}{(x-1)(x-2)} = \frac{6 - 3x}{(x-1)(x-2)}$

5. Вынесем в числителе общий множитель $3$ за скобки и упростим выражение. Заметим, что $2-x = -(x-2)$.

$\frac{3(2 - x)}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3(x - 2)}{(x-1)(x-2)}$

6. Сократим дробь на $(x-2)$:

$\frac{-3}{x-1}$

Ответ: $\frac{-3}{x-1}$.

2)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках, затем деление.

1. Упростим знаменатели и числители дробей в скобках:

Знаменатель первой дроби: $3a + (a-1)^2 = 3a + (a^2 - 2a + 1) = a^2 + a + 1$.

Числитель второй дроби: $1 - 2a + a^2 = (a-1)^2$.

Знаменатель второй дроби (формула разности кубов): $a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

2. Подставим упрощенные выражения в скобки:

$\frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{(a-1)^2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1}{a-1}$

3. Сократим вторую дробь на $(a-1)$:

$\frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{1}{a-1}$

4. Первые две дроби являются одинаковыми и вычитаются друг из друга, поэтому их разность равна нулю:

$0 - \frac{1}{a-1} = -\frac{1}{a-1}$

5. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(-\frac{1}{a-1}) : \frac{a^2+1}{1-a} = -\frac{1}{a-1} \cdot \frac{1-a}{a^2+1}$

6. Заметим, что $1-a = -(a-1)$. Подставим это в выражение:

$-\frac{1}{a-1} \cdot \frac{-(a-1)}{a^2+1} = \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a^2+1)}$

7. Сократим общий множитель $(a-1)$:

$\frac{\cancel{a-1}}{(\cancel{a-1})(a^2+1)} = \frac{1}{a^2+1}$

Ответ: $\frac{1}{a^2+1}$.

6.102. 1) $\frac{a - 2}{4a^2 + 16a + 16} : \left( \frac{a}{2a - 4} - \frac{a^2 + 4}{2a^2 - 8} - \frac{2}{a^2 + 2a} \right)$;

2) $\left( \frac{a - x}{a^2 + ax + x^2} - \frac{1}{a - x} \right) \left( \frac{2x + a}{a} + \frac{2a + x}{x} \right)$.

1) $\frac{a-2}{4a^2+16a+16} : (\frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a})$

Решим задачу по действиям. Сначала упростим выражение в скобках, а затем выполним деление.

Действие 1: Упрощение выражения в скобках.

$\frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a}$

Разложим знаменатели на множители:

• $2a-4 = 2(a-2)$
• $2a^2-8 = 2(a^2-4) = 2(a-2)(a+2)$
• $a^2+2a = a(a+2)$

Общий знаменатель для дробей в скобках: $2a(a-2)(a+2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a \cdot a(a+2)}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{(a^2+4) \cdot a}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{2 \cdot 2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{a^2(a+2) - a(a^2+4) - 4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^3+2a^2 - a^3-4a - 4a+8}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2a^2 - 8a + 8}{2a(a-2)(a+2)}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим:

$\frac{2(a^2 - 4a + 4)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{(a-2)^2}{a(a-2)(a+2)}$

Сократим на $(a-2)$:

$\frac{a-2}{a(a+2)}$

Действие 2: Деление.

Теперь выполним деление. Упростим знаменатель первой дроби: $4a^2+16a+16 = 4(a^2+4a+4) = 4(a+2)^2$.

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{a-2}{4(a+2)^2} : \frac{a-2}{a(a+2)}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{a-2}{4(a+2)^2} \cdot \frac{a(a+2)}{a-2}$

Сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+2)$:

$\frac{1}{4(a+2)} \cdot \frac{a}{1} = \frac{a}{4(a+2)}$

Ответ: $\frac{a}{4(a+2)}$

2) $(\frac{a-x}{a^2+ax+x^2} - \frac{1}{a-x}) \cdot (\frac{2x+a}{a} + \frac{2a+x}{x})$

Решим задачу по действиям, упрощая выражения в каждой из скобок по отдельности.

Действие 1: Упрощение первой скобки.

$\frac{a-x}{a^2+ax+x^2} - \frac{1}{a-x}$

Общий знаменатель: $(a^2+ax+x^2)(a-x)$, что является формулой разности кубов $a^3-x^3$.

$\frac{(a-x)(a-x) - 1(a^2+ax+x^2)}{(a-x)(a^2+ax+x^2)} = \frac{(a-x)^2 - (a^2+ax+x^2)}{a^3-x^3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2-2ax+x^2 - a^2-ax-x^2}{a^3-x^3} = \frac{-3ax}{a^3-x^3}$

Действие 2: Упрощение второй скобки.

$\frac{2x+a}{a} + \frac{2a+x}{x}$

Общий знаменатель: $ax$.

$\frac{x(2x+a) + a(2a+x)}{ax} = \frac{2x^2+ax + 2a^2+ax}{ax} = \frac{2a^2+2ax+2x^2}{ax}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(a^2+ax+x^2)}{ax}$

Действие 3: Умножение результатов.

Перемножим результаты первого и второго действий:

$(\frac{-3ax}{a^3-x^3}) \cdot (\frac{2(a^2+ax+x^2)}{ax})$

Заменим $a^3-x^3$ на $(a-x)(a^2+ax+x^2)$:

$\frac{-3ax}{(a-x)(a^2+ax+x^2)} \cdot \frac{2(a^2+ax+x^2)}{ax}$

Сократим общие множители $ax$ и $(a^2+ax+x^2)$:

$\frac{-3}{a-x} \cdot \frac{2}{1} = \frac{-6}{a-x}$

Результат можно также записать в виде $\frac{6}{x-a}$.

Ответ: $\frac{-6}{a-x}$

6.103. 1) $\frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} : \frac{x^2 - 1}{x^3 - a^3} + \frac{x^2 + a^3}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - ax + a^2}{ax - a}$;

2) $\left(\frac{k+x}{x^2 - kx + k^2} - \frac{1}{k+x}\right) : \left(\frac{k^2 + 2x^2}{k^3 + x^3} - \frac{k+2x}{k^2 - kx + x^2}\right)$.

1) Упростим выражение по частям, выполняя сначала деление, а затем сложение.
Во втором слагаемом, в числителе дроби $\frac{x^2+a^3}{x^2-1}$, вероятно, допущена опечатка. Для того чтобы выражение можно было значительно упростить, что обычно и является целью подобных заданий, числитель должен быть $x^3+a^3$. Решим задачу с этим исправлением.Исходное выражение с исправлением:$\frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} : \frac{x^2 - 1}{x^3 - a^3} + \frac{x^3 + a^3}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - ax + a^2}{ax - a}$

1. Выполним первое деление. Для этого заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим многочлены на множители:
$\frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} : \frac{x^2 - 1}{x^3 - a^3} = \frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{x^3 - a^3}{x^2 - 1} = \frac{x(x - 1)}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}{(x - 1)(x + 1)}$
Сокращаем общие множители $(x-1)$ и $(x^2 + ax + a^2)$:
$\frac{x\sout{(x - 1)}}{\sout{x^2 + ax + a^2}} \cdot \frac{(x - a)\sout{(x^2 + ax + a^2)}}{\sout{(x - 1)}(x + 1)} = \frac{x(x - a)}{x + 1}$

2. Выполним второе деление с исправленным числителем:
$\frac{x^3 + a^3}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - ax + a^2}{ax - a} = \frac{x^3 + a^3}{x^2 - 1} \cdot \frac{ax - a}{x^2 - ax + a^2} = \frac{(x + a)(x^2 - ax + a^2)}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{a(x - 1)}{x^2 - ax + a^2}$
Сокращаем общие множители $(x-1)$ и $(x^2 - ax + a^2)$:
$\frac{(x + a)\sout{(x^2 - ax + a^2)}}{\sout{(x - 1)}(x + 1)} \cdot \frac{a\sout{(x - 1)}}{\sout{x^2 - ax + a^2}} = \frac{a(x + a)}{x + 1}$

3. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2. Дроби имеют общий знаменатель $(x+1)$:
$\frac{x(x - a)}{x + 1} + \frac{a(x + a)}{x + 1} = \frac{x(x - a) + a(x + a)}{x + 1}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 - ax + ax + a^2}{x + 1} = \frac{x^2 + a^2}{x + 1}$

Ответ: $\frac{x^2 + a^2}{x + 1}$

2) Сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $(k+x)(x^2 - kx + k^2) = k^3+x^3$ (формула суммы кубов):
$\frac{k + x}{x^2 - kx + k^2} - \frac{1}{k + x} = \frac{(k + x)(k + x)}{(x^2 - kx + k^2)(k + x)} - \frac{1(x^2 - kx + k^2)}{(k + x)(x^2 - kx + k^2)} = \frac{(k + x)^2 - (x^2 - kx + k^2)}{k^3 + x^3}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(k^2 + 2kx + x^2) - (x^2 - kx + k^2)}{k^3 + x^3} = \frac{k^2 + 2kx + x^2 - x^2 + kx - k^2}{k^3 + x^3} = \frac{3kx}{k^3 + x^3}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель также $k^3 + x^3$:
$\frac{k^2 + 2x^2}{k^3 + x^3} - \frac{k + 2x}{k^2 - kx + x^2} = \frac{k^2 + 2x^2}{k^3 + x^3} - \frac{(k + 2x)(k+x)}{(k^2 - kx + x^2)(k+x)} = \frac{k^2 + 2x^2 - (k + 2x)(k+x)}{k^3 + x^3}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{k^2 + 2x^2 - (k^2 + kx + 2kx + 2x^2)}{k^3 + x^3} = \frac{k^2 + 2x^2 - k^2 - 3kx - 2x^2}{k^3 + x^3} = \frac{-3kx}{k^3 + x^3}$

3. Выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:
$\frac{3kx}{k^3 + x^3} : \frac{-3kx}{k^3 + x^3} = \frac{3kx}{k^3 + x^3} \cdot \frac{k^3 + x^3}{-3kx}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\sout{3kx}}{\sout{k^3 + x^3}} \cdot \frac{\sout{k^3 + x^3}}{-\sout{3kx}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{-1} = -1$

Ответ: $-1$

6.104. Докажите тождество:

1) $\frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2};$

2) $\frac{a^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2b}{a^2+b^2} \cdot \left( \frac{a}{ab+b^2} + \frac{b}{a^2+ab} \right) = \frac{ab}{a^2-b^2}.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Преобразуем левую часть:

$ \frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ 2(a-b)(a+b) $:

$ \frac{(a+b)(a+b) - (a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{2(a^2-b^2)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{2(a^2-b^2)} = \frac{a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2}{2(a^2-b^2)} = \frac{4ab}{2(a^2-b^2)} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $

Теперь преобразуем правую часть:

$ \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} $

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ и приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b^2-ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{b(a+b) - (b^2-ab)}{a^2-b^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{ab+b^2 - b^2+ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $ \frac{2ab}{a^2-b^2} $, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Выполним действия по порядку.

1. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$ \frac{a}{ab+b^2} + \frac{b}{a^2+ab} = \frac{a}{b(a+b)} + \frac{b}{a(a+b)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ ab(a+b) $:

$ \frac{a \cdot a}{ab(a+b)} + \frac{b \cdot b}{ab(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $

2. Теперь выполним умножение:

$ \frac{a^2b}{a^2+b^2} \cdot \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $

Сократим дробь на общие множители $ (a^2+b^2) $, $ a $ и $ b $:

$ \frac{a^2b \cdot (a^2+b^2)}{(a^2+b^2) \cdot ab(a+b)} = \frac{a}{a+b} $

3. Выполним вычитание:

$ \frac{a^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} $

Разложим знаменатель первой дроби $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ и приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{a^2 - a^2 + ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab}{a^2-b^2} $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.