Номер 6.103, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.103. 1) $\frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} : \frac{x^2 - 1}{x^3 - a^3} + \frac{x^2 + a^3}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - ax + a^2}{ax - a}$;

2) $\left(\frac{k+x}{x^2 - kx + k^2} - \frac{1}{k+x}\right) : \left(\frac{k^2 + 2x^2}{k^3 + x^3} - \frac{k+2x}{k^2 - kx + x^2}\right)$.

1) Упростим выражение по частям, выполняя сначала деление, а затем сложение.
Во втором слагаемом, в числителе дроби $\frac{x^2+a^3}{x^2-1}$, вероятно, допущена опечатка. Для того чтобы выражение можно было значительно упростить, что обычно и является целью подобных заданий, числитель должен быть $x^3+a^3$. Решим задачу с этим исправлением.Исходное выражение с исправлением:$\frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} : \frac{x^2 - 1}{x^3 - a^3} + \frac{x^3 + a^3}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - ax + a^2}{ax - a}$

1. Выполним первое деление. Для этого заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим многочлены на множители:
$\frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} : \frac{x^2 - 1}{x^3 - a^3} = \frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{x^3 - a^3}{x^2 - 1} = \frac{x(x - 1)}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}{(x - 1)(x + 1)}$
Сокращаем общие множители $(x-1)$ и $(x^2 + ax + a^2)$:
$\frac{x\sout{(x - 1)}}{\sout{x^2 + ax + a^2}} \cdot \frac{(x - a)\sout{(x^2 + ax + a^2)}}{\sout{(x - 1)}(x + 1)} = \frac{x(x - a)}{x + 1}$

2. Выполним второе деление с исправленным числителем:
$\frac{x^3 + a^3}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - ax + a^2}{ax - a} = \frac{x^3 + a^3}{x^2 - 1} \cdot \frac{ax - a}{x^2 - ax + a^2} = \frac{(x + a)(x^2 - ax + a^2)}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{a(x - 1)}{x^2 - ax + a^2}$
Сокращаем общие множители $(x-1)$ и $(x^2 - ax + a^2)$:
$\frac{(x + a)\sout{(x^2 - ax + a^2)}}{\sout{(x - 1)}(x + 1)} \cdot \frac{a\sout{(x - 1)}}{\sout{x^2 - ax + a^2}} = \frac{a(x + a)}{x + 1}$

3. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2. Дроби имеют общий знаменатель $(x+1)$:
$\frac{x(x - a)}{x + 1} + \frac{a(x + a)}{x + 1} = \frac{x(x - a) + a(x + a)}{x + 1}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 - ax + ax + a^2}{x + 1} = \frac{x^2 + a^2}{x + 1}$

Ответ: $\frac{x^2 + a^2}{x + 1}$

2) Сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $(k+x)(x^2 - kx + k^2) = k^3+x^3$ (формула суммы кубов):
$\frac{k + x}{x^2 - kx + k^2} - \frac{1}{k + x} = \frac{(k + x)(k + x)}{(x^2 - kx + k^2)(k + x)} - \frac{1(x^2 - kx + k^2)}{(k + x)(x^2 - kx + k^2)} = \frac{(k + x)^2 - (x^2 - kx + k^2)}{k^3 + x^3}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(k^2 + 2kx + x^2) - (x^2 - kx + k^2)}{k^3 + x^3} = \frac{k^2 + 2kx + x^2 - x^2 + kx - k^2}{k^3 + x^3} = \frac{3kx}{k^3 + x^3}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель также $k^3 + x^3$:
$\frac{k^2 + 2x^2}{k^3 + x^3} - \frac{k + 2x}{k^2 - kx + x^2} = \frac{k^2 + 2x^2}{k^3 + x^3} - \frac{(k + 2x)(k+x)}{(k^2 - kx + x^2)(k+x)} = \frac{k^2 + 2x^2 - (k + 2x)(k+x)}{k^3 + x^3}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{k^2 + 2x^2 - (k^2 + kx + 2kx + 2x^2)}{k^3 + x^3} = \frac{k^2 + 2x^2 - k^2 - 3kx - 2x^2}{k^3 + x^3} = \frac{-3kx}{k^3 + x^3}$

3. Выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:
$\frac{3kx}{k^3 + x^3} : \frac{-3kx}{k^3 + x^3} = \frac{3kx}{k^3 + x^3} \cdot \frac{k^3 + x^3}{-3kx}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\sout{3kx}}{\sout{k^3 + x^3}} \cdot \frac{\sout{k^3 + x^3}}{-\sout{3kx}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{-1} = -1$

Ответ: $-1$