Номер 6.99, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.99. 1) $(\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an}) : (\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2});$

2) $(\frac{2x^2+x}{x^3-1} - \frac{x+1}{x^2+x+1}) \cdot (1+\frac{x+1}{x} - \frac{x+5}{x+1}).$

1)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в первых скобках.

$\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an}$

Знаменатель второй дроби $a^2+n^2+2an$ является полным квадратом суммы $(a+n)^2$.

$\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{(a+n)^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a+n)^2$:

$\frac{a^2(a+n)}{(a+n)^2} - \frac{a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^3+a^2n-a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2n}{(a+n)^2}$

Теперь упростим выражение во вторых скобках.

$\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2}$

Знаменатель второй дроби $a^2-n^2$ разложим по формуле разности квадратов: $(a-n)(a+n)$.

$\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-n)(a+n)$:

$\frac{a(a-n)}{(a-n)(a+n)} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2-an-a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{-an}{(a-n)(a+n)}$

Выполним деление результатов.

$\frac{a^2n}{(a+n)^2} : \frac{-an}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2n}{(a+n)^2} \cdot \frac{(a-n)(a+n)}{-an}$

Сокращаем общие множители $an$ и $(a+n)$:

$\frac{a \cdot an \cdot (a-n)(a+n)}{(a+n)(a+n)(-1)an} = \frac{a(a-n)}{-(a+n)} = -\frac{a(a-n)}{a+n} = \frac{a(n-a)}{a+n}$

Ответ: $\frac{a(n-a)}{a+n}$.

2)

Упростим выражение по действиям, начиная с первой скобки.

$\frac{2x^2+x}{x^3-1} - \frac{x+1}{x^2+x+1}$

Знаменатель первой дроби $x^3-1$ разложим по формуле разности кубов: $(x-1)(x^2+x+1)$.

$\frac{2x^2+x}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{x+1}{x^2+x+1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x^2+x+1)$:

$\frac{2x^2+x}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{2x^2+x-(x^2-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}$

Сократим дробь на $(x^2+x+1)$:

$\frac{1}{x-1}$

Теперь упростим выражение во второй скобке.

$1 + \frac{x+1}{x} - \frac{x+5}{x+1}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{x(x+1)}{x(x+1)} + \frac{(x+1)^2}{x(x+1)} - \frac{x(x+5)}{x(x+1)} = \frac{(x^2+x) + (x^2+2x+1) - (x^2+5x)}{x(x+1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2+x+x^2+2x+1-x^2-5x}{x(x+1)} = \frac{x^2-2x+1}{x(x+1)}$

Числитель $x^2-2x+1$ является полным квадратом разности $(x-1)^2$.

$\frac{(x-1)^2}{x(x+1)}$

Выполним умножение результатов.

$\frac{1}{x-1} \cdot \frac{(x-1)^2}{x(x+1)} = \frac{(x-1)^2}{(x-1)x(x+1)}$

Сократим дробь на $(x-1)$:

$\frac{x-1}{x(x+1)}$

Ответ: $\frac{x-1}{x(x+1)}$.