Номер 6.101, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.101. 1) $\frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3(x-1)}{x^2-4} - \frac{3}{x-2}$;

2) $\left(\frac{a-1}{3a+(a-1)^2} - \frac{1-2a+a^2}{a^3-1} - \frac{1}{a-1}\right) : \frac{a^2+1}{1-a}$.

1)

Упростим выражение, выполняя действия по порядку. Сначала умножение, затем вычитание.

1. Разложим на множители знаменатели в первом произведении, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ и разность квадратов $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$\frac{x+2}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{3(x-1)}{x^2-4} = \frac{x+2}{(x-1)^2} \cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)}$

2. Сократим общие множители $(x+2)$ и $(x-1)$:

$\frac{\cancel{x+2}}{(x-1)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3(\cancel{x-1})}{(x-2)(\cancel{x+2})} = \frac{3}{(x-1)(x-2)}$

3. Теперь выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$.

$\frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2} = \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

4. Выполним вычитание числителей:

$\frac{3 - 3(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3 - 3x + 3}{(x-1)(x-2)} = \frac{6 - 3x}{(x-1)(x-2)}$

5. Вынесем в числителе общий множитель $3$ за скобки и упростим выражение. Заметим, что $2-x = -(x-2)$.

$\frac{3(2 - x)}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3(x - 2)}{(x-1)(x-2)}$

6. Сократим дробь на $(x-2)$:

$\frac{-3}{x-1}$

Ответ: $\frac{-3}{x-1}$.

2)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках, затем деление.

1. Упростим знаменатели и числители дробей в скобках:

Знаменатель первой дроби: $3a + (a-1)^2 = 3a + (a^2 - 2a + 1) = a^2 + a + 1$.

Числитель второй дроби: $1 - 2a + a^2 = (a-1)^2$.

Знаменатель второй дроби (формула разности кубов): $a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

2. Подставим упрощенные выражения в скобки:

$\frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{(a-1)^2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1}{a-1}$

3. Сократим вторую дробь на $(a-1)$:

$\frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{1}{a-1}$

4. Первые две дроби являются одинаковыми и вычитаются друг из друга, поэтому их разность равна нулю:

$0 - \frac{1}{a-1} = -\frac{1}{a-1}$

5. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(-\frac{1}{a-1}) : \frac{a^2+1}{1-a} = -\frac{1}{a-1} \cdot \frac{1-a}{a^2+1}$

6. Заметим, что $1-a = -(a-1)$. Подставим это в выражение:

$-\frac{1}{a-1} \cdot \frac{-(a-1)}{a^2+1} = \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a^2+1)}$

7. Сократим общий множитель $(a-1)$:

$\frac{\cancel{a-1}}{(\cancel{a-1})(a^2+1)} = \frac{1}{a^2+1}$

Ответ: $\frac{1}{a^2+1}$.