Номер 6.100, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.100. 1) ( $ \frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2} $ ) : ( $ \frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a} $ );

2) ( $ \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x^3+1} + \frac{3}{x^2-x+1} $ ) ( $ x - \frac{2x-1}{x+1} $ ).

1) $(\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}) : (\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a})$

Решим задачу по действиям. Сначала упростим выражения в каждой из скобок.

Первое действие (выражение в первой скобке):

$\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}$

Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом суммы: $4a^2+4ab+b^2 = (2a+b)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2a+b)^2$:

$\frac{2a(2a+b)}{(2a+b)^2} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2a(2a+b) - 4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{4a^2+2ab-4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2ab}{(2a+b)^2}$

Второе действие (выражение во второй скобке):

$\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a}$

Знаменатель первой дроби — это разность квадратов: $4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b)$.

Преобразуем вторую дробь, изменив знак в знаменателе: $\frac{1}{b-2a} = \frac{1}{-(2a-b)} = -\frac{1}{2a-b}$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(2a-b)(2a+b)$:

$\frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1}{2a-b} = \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a - (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a-2a-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)}$

Третье действие (деление результатов):

Разделим результат первого действия на результат второго. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{2ab}{(2a+b)^2} : \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a-b)(2a+b)}{-b}$

Сократим общие множители $b$ и $(2a+b)$:

$\frac{2a}{2a+b} \cdot \frac{2a-b}{-1} = -\frac{2a(2a-b)}{2a+b} = \frac{2a(b-2a)}{2a+b}$

Ответ: $\frac{2a(b-2a)}{2a+b}$

2) $(\frac{1}{x+1} - \frac{3}{x^3+1} + \frac{3}{x^2-x+1}) (x - \frac{2x-1}{x+1})$

Решим по действиям.

Первое действие (выражение в первой скобке):

$\frac{1}{x+1} - \frac{3}{x^3+1} + \frac{3}{x^2-x+1}$

Используем формулу суммы кубов для знаменателя второй дроби: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$. Этот знаменатель будет общим для всех трех дробей.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1(x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} - \frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{3(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}$

Объединим числители:

$\frac{(x^2-x+1) - 3 + 3(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^2-x+1-3+3x+3}{x^3+1} = \frac{x^2+2x+1}{x^3+1}$

Числитель является полным квадратом: $x^2+2x+1 = (x+1)^2$.

$\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x+1}{x^2-x+1}$

Второе действие (выражение во второй скобке):

$x - \frac{2x-1}{x+1}$

Приведем к общему знаменателю $(x+1)$:

$\frac{x(x+1)}{x+1} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{x(x+1)-(2x-1)}{x+1} = \frac{x^2+x-2x+1}{x+1} = \frac{x^2-x+1}{x+1}$

Третье действие (умножение результатов):

Умножим результат первого действия на результат второго:

$(\frac{x+1}{x^2-x+1}) \cdot (\frac{x^2-x+1}{x+1})$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$(\frac{\cancel{x+1}}{\cancel{x^2-x+1}}) \cdot (\frac{\cancel{x^2-x+1}}{\cancel{x+1}}) = 1$

Ответ: $1$