Номер 6.104, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.104. Докажите тождество:

1) $\frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2};$

2) $\frac{a^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2b}{a^2+b^2} \cdot \left( \frac{a}{ab+b^2} + \frac{b}{a^2+ab} \right) = \frac{ab}{a^2-b^2}.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Преобразуем левую часть:

$ \frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ 2(a-b)(a+b) $:

$ \frac{(a+b)(a+b) - (a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{2(a^2-b^2)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{2(a^2-b^2)} = \frac{a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2}{2(a^2-b^2)} = \frac{4ab}{2(a^2-b^2)} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $

Теперь преобразуем правую часть:

$ \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} $

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ и приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b^2-ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{b(a+b) - (b^2-ab)}{a^2-b^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{ab+b^2 - b^2+ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $ \frac{2ab}{a^2-b^2} $, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Выполним действия по порядку.

1. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$ \frac{a}{ab+b^2} + \frac{b}{a^2+ab} = \frac{a}{b(a+b)} + \frac{b}{a(a+b)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ ab(a+b) $:

$ \frac{a \cdot a}{ab(a+b)} + \frac{b \cdot b}{ab(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $

2. Теперь выполним умножение:

$ \frac{a^2b}{a^2+b^2} \cdot \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $

Сократим дробь на общие множители $ (a^2+b^2) $, $ a $ и $ b $:

$ \frac{a^2b \cdot (a^2+b^2)}{(a^2+b^2) \cdot ab(a+b)} = \frac{a}{a+b} $

3. Выполним вычитание:

$ \frac{a^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} $

Разложим знаменатель первой дроби $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ и приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{a^2 - a^2 + ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab}{a^2-b^2} $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.