Номер 6.97, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.97. 1) $(m+1-\frac{1}{1-m}):(m-\frac{m^2}{m-1});$

2) $(\frac{2ab}{4a^2-9b^2}-\frac{b}{2a-3b}):(1-\frac{2a-3b}{2a+3b});$

3) $\frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2};$

4) $\frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}+\frac{2-y}{x-3}.$

1)

Исходное выражение: $\left(m+1-\frac{1}{1-m}\right) : \left(m-\frac{m^2}{m-1}\right)$

Сначала упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $1-m = -(m-1)$, поэтому $-\frac{1}{1-m} = \frac{1}{m-1}$.

$m+1-\frac{1}{1-m} = m+1+\frac{1}{m-1}$

Приведем к общему знаменателю $(m-1)$:

$\frac{(m+1)(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-1^2+1}{m-1} = \frac{m^2-1+1}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$m-\frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1)}{m-1} - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m^2-m-m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}$

Теперь выполним деление:

$\frac{m^2}{m-1} : \frac{-m}{m-1}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{-m} = \frac{m^2(m-1)}{(m-1)(-m)}$

Сокращаем общие множители $m$ и $(m-1)$:

$\frac{m}{-1} = -m$

Ответ: $-m$

2)

Исходное выражение: $\left(\frac{2ab}{4a^2-9b^2} - \frac{b}{2a-3b}\right) : \left(1-\frac{2a-3b}{2a+3b}\right)$

Упростим выражение в первой скобке. Разложим знаменатель $4a^2-9b^2$ по формуле разности квадратов: $4a^2-9b^2 = (2a-3b)(2a+3b)$.

$\frac{2ab}{(2a-3b)(2a+3b)} - \frac{b}{2a-3b}$

Приведем к общему знаменателю $(2a-3b)(2a+3b)$:

$\frac{2ab}{(2a-3b)(2a+3b)} - \frac{b(2a+3b)}{(2a-3b)(2a+3b)} = \frac{2ab - b(2a+3b)}{(2a-3b)(2a+3b)}$

$\frac{2ab - 2ab - 3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)} = \frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)}$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$1-\frac{2a-3b}{2a+3b} = \frac{2a+3b}{2a+3b} - \frac{2a-3b}{2a+3b} = \frac{2a+3b-(2a-3b)}{2a+3b}$

$\frac{2a+3b-2a+3b}{2a+3b} = \frac{6b}{2a+3b}$

Выполним деление результатов:

$\frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)} : \frac{6b}{2a+3b} = \frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)} \cdot \frac{2a+3b}{6b}$

Сократим общие множители $(2a+3b)$, $b$ и числовые коэффициенты:

$\frac{-\cancel{3}b^{\cancel{2}}}{ (2a-3b)\cancel{(2a+3b)}} \cdot \frac{\cancel{(2a+3b)}}{\cancel{6}_2 \cancel{b}} = \frac{-b}{2(2a-3b)}$

Ответ: $\frac{-b}{2(2a-3b)}$

3)

Исходное выражение: $\frac{b-c}{a+b} - \frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$

Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Разложим числители и знаменатели дробей на множители:

$\frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2} = \frac{b(a-b)}{a(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $(a-c)$:

$\frac{b\cancel{(a-b)}}{a\cancel{(a-c)}} \cdot \frac{\cancel{(a-c)}(a+c)}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{b(a+c)}{a(a+b)}$

Теперь выполним вычитание, подставив полученный результат в исходное выражение:

$\frac{b-c}{a+b} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+b)$:

$\frac{a(b-c)}{a(a+b)} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)} = \frac{a(b-c) - b(a+c)}{a(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ab-ac - ab - bc}{a(a+b)} = \frac{-ac - bc}{a(a+b)}$

Вынесем общий множитель $(-c)$ за скобки в числителе:

$\frac{-c(a+b)}{a(a+b)}$

Сократим дробь на $(a+b)$:

$\frac{-c\cancel{(a+b)}}{a\cancel{(a+b)}} = -\frac{c}{a}$

Ответ: $-\frac{c}{a}$

4)

Исходное выражение: $\frac{a^2-4}{x^2-9} : \frac{a^2-2a}{xy+3y} + \frac{2-y}{x-3}$

Сначала выполним деление. Для этого разложим числители и знаменатели на множители:

$\frac{a^2-4}{x^2-9} : \frac{a^2-2a}{xy+3y} = \frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)} : \frac{a(a-2)}{y(x+3)}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{y(x+3)}{a(a-2)}$

Сократим общие множители $(a-2)$ и $(x+3)$:

$\frac{\cancel{(a-2)}(a+2)}{(x-3)\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{y\cancel{(x+3)}}{a\cancel{(a-2)}} = \frac{y(a+2)}{a(x-3)}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{2-y}{x-3}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(x-3)$:

$\frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{a(2-y)}{a(x-3)} = \frac{y(a+2) + a(2-y)}{a(x-3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ay+2y + 2a-ay}{a(x-3)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2y+2a}{a(x-3)}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(y+a)}{a(x-3)}$

Ответ: $\frac{2(a+y)}{a(x-3)}$