Номер 6.90, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.90*. Найдите координаты точек пересечения графиков функций, данных в упражнении 6.89, решая систему уравнений. При этом для нахождения корней многочлена разложите уравнения на множители.

Для нахождения координат точек пересечения графиков двух функций необходимо приравнять их уравнения и решить полученное уравнение относительно переменной $x$. Найденные значения $x$ являются абсциссами точек пересечения. Для нахождения ординат ($y$) нужно подставить каждое значение $x$ в уравнение любой из исходных функций.

Предположим, что в упражнении 6.89 были даны следующие пары функций:

а) $y = x^3$ и $y = x$

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^3 \\ y = x \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений: $x^3 = x$.

Перенесем все члены в левую часть и разложим полученное выражение на множители:

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

$x_3 = -1$

Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x$ (это проще):

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Если $x_3 = -1$, то $y_3 = -1$. Координаты третьей точки: $(-1; -1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

б) $y = x^3$ и $y = x^2$

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^3 \\ y = x^2 \end{cases} $

Приравняем правые части: $x^3 = x^2$.

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

$x^3 - x^2 = 0$

$x^2(x - 1) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^2$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0^2 = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1^2 = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$.

в) $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^3 \\ y = \sqrt[3]{x} \end{cases} $

Приравняем правые части: $x^3 = \sqrt[3]{x}$.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(x^3)^3 = (\sqrt[3]{x})^3$

$x^9 = x$

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

$x^9 - x = 0$

$x(x^8 - 1) = 0$

$x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0$

$x(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$

Выражения $x^2 + 1$ и $x^4 + 1$ всегда положительны при любых действительных значениях $x$, поэтому они не могут быть равны нулю. Следовательно, корни уравнения определяются первыми тремя множителями:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

$x_3 = -1$

Найдем ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^3$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0^3 = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1^3 = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Если $x_3 = -1$, то $y_3 = (-1)^3 = -1$. Координаты третьей точки: $(-1; -1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

г) $y = x^2$ и $y = |x|$

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = |x| \end{cases} $

Приравняем правые части: $x^2 = |x|$.

Так как $x^2 = |x|^2$ для любого действительного $x$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$|x|^2 = |x|$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|^2 - |x| = 0$

$|x|(|x| - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $|x| = 0 \implies x_1 = 0$

2) $|x| - 1 = 0 \implies |x| = 1 \implies x_2 = 1$ или $x_3 = -1$

Мы нашли три абсциссы точек пересечения. Найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^2$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0^2 = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1^2 = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Если $x_3 = -1$, то $y_3 = (-1)^2 = 1$. Координаты третьей точки: $(-1; 1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$.