Номер 6.96, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.96. 1) $ \left(\frac{b}{a^2 - ab} + \frac{a}{b^2 - ab}\right) \cdot \frac{a^2b + ab^2}{a^2 - b^2}; $

2) $ \left(\frac{2a}{a + 2} + \frac{2a}{6 - 3a} + \frac{8a}{a^2 - 4}\right) : \frac{a - 4}{a - 2}; $

3) $ \left(\frac{a^2 + b^2}{a} + b\right) : \left(\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) \cdot \frac{a^3 - b^3}{a^2 + b^2}\right); $

4) $ \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \frac{x^2 + 2xy + y^2}{2xy}; $

1) Выполним решение по шагам. Сначала упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

$\frac{b}{a^2-ab} + \frac{a}{b^2-ab} = \frac{b}{a(a-b)} + \frac{a}{b(b-a)} = \frac{b}{a(a-b)} - \frac{a}{b(a-b)}$

Общий знаменатель равен $ab(a-b)$.

$\frac{b \cdot b - a \cdot a}{ab(a-b)} = \frac{b^2 - a^2}{ab(a-b)} = \frac{(b-a)(b+a)}{ab(a-b)} = \frac{-(a-b)(a+b)}{ab(a-b)} = -\frac{a+b}{ab}$

Теперь упростим второй множитель.

$\frac{a^2b+ab^2}{a^2-b^2} = \frac{ab(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab}{a-b}$

Наконец, перемножим полученные выражения.

$(-\frac{a+b}{ab}) \cdot \frac{ab}{a-b} = -\frac{ab(a+b)}{ab(a-b)} = -\frac{a+b}{a-b} = \frac{a+b}{b-a}$

Ответ: $\frac{a+b}{b-a}$

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя все дроби к общему знаменателю.

Разложим знаменатели на множители: $6-3a = -3(a-2)$ и $a^2-4 = (a-2)(a+2)$. Общий знаменатель будет $3(a-2)(a+2)$.

$\frac{2a}{a+2} + \frac{2a}{6-3a} + \frac{8a}{a^2-4} = \frac{2a}{a+2} - \frac{2a}{3(a-2)} + \frac{8a}{(a-2)(a+2)}$

$\frac{2a \cdot 3(a-2) - 2a(a+2) + 8a \cdot 3}{3(a-2)(a+2)} = \frac{6a(a-2) - 2a(a+2) + 24a}{3(a^2-4)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.

$\frac{6a^2-12a-2a^2-4a+24a}{3(a^2-4)} = \frac{4a^2+8a}{3(a^2-4)} = \frac{4a(a+2)}{3(a-2)(a+2)} = \frac{4a}{3(a-2)}$

Теперь выполним деление.

$\frac{4a}{3(a-2)} : \frac{a-4}{a-2} = \frac{4a}{3(a-2)} \cdot \frac{a-2}{a-4} = \frac{4a(a-2)}{3(a-2)(a-4)} = \frac{4a}{3(a-4)}$

Ответ: $\frac{4a}{3(a-4)}$

3) Решим по действиям. Сначала выполним действия в каждых скобках по отдельности.

1. Первые скобки:

$\frac{a^2+b^2}{a} + b = \frac{a^2+b^2+ab}{a}$

2. Вторые скобки (сначала сложение, потом умножение):

$(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2} = (\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2} = \frac{a^3-b^3}{a^2b^2}$

3. Теперь разделим результат первого действия на результат второго действия.

$(\frac{a^2+ab+b^2}{a}) : (\frac{a^3-b^3}{a^2b^2})$

Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и заменим деление умножением на обратную дробь.

$\frac{a^2+ab+b^2}{a} \cdot \frac{a^2b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^2b^2}{a(a-b)} = \frac{ab^2}{a-b}$

Ответ: $\frac{ab^2}{a-b}$

4) Сначала выполним действие в скобках.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$

Теперь упростим делитель, используя формулу квадрата суммы $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$.

$\frac{x^2+2xy+y^2}{2xy} = \frac{(x+y)^2}{2xy}$

Выполним деление.

$(\frac{x+y}{xy}) : (\frac{(x+y)^2}{2xy}) = \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{2xy}{(x+y)^2}$

Сократим общие множители $xy$ и $(x+y)$.

$\frac{2}{x+y}$

Ответ: $\frac{2}{x+y}$