Номер 6.95, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.95. 1) $\left(\frac{a+1}{2a-2} + \frac{6}{2a^2-2} - \frac{a+3}{2a+2}\right) \cdot \frac{4a^2-4}{3}$;

2) $\left(\frac{3a}{1-3a} + \frac{2a}{3a+1}\right) : \frac{6a^2+10a}{1-6a+9a^2}$;

3) $(x^2-1) \cdot \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 1\right)$;

4) $\left(1+\frac{a}{x}+\frac{a^2}{x^2}\right) \cdot \left(1-\frac{a}{x}\right) \cdot \frac{x^3}{a^3-x^3}$.

1)

Упростим выражение $(\frac{a+1}{2a-2} + \frac{6}{2a^2-2} - \frac{a+3}{2a+2}) \cdot \frac{4a^2-4}{3}$.
Сначала выполним действия в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель.
$2a-2 = 2(a-1)$
$2a^2-2 = 2(a^2-1) = 2(a-1)(a+1)$
$2a+2 = 2(a+1)$
Общий знаменатель для дробей в скобках — это $2(a-1)(a+1)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{a+1}{2(a-1)} + \frac{6}{2(a-1)(a+1)} - \frac{a+3}{2(a+1)} = \frac{(a+1)(a+1)}{2(a-1)(a+1)} + \frac{6}{2(a-1)(a+1)} - \frac{(a+3)(a-1)}{2(a-1)(a+1)}$
Теперь сложим и вычтем числители:
$\frac{(a+1)^2 + 6 - (a+3)(a-1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{(a^2+2a+1) + 6 - (a^2-a+3a-3)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+7 - (a^2+2a-3)}{2(a-1)(a+1)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{a^2+2a+7-a^2-2a+3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{10}{2(a-1)(a+1)} = \frac{5}{(a-1)(a+1)}$
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь $\frac{4a^2-4}{3}$. Предварительно разложим ее числитель на множители: $4a^2-4 = 4(a^2-1) = 4(a-1)(a+1)$.
$\frac{5}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{4(a-1)(a+1)}{3}$
Сократим общие множители $(a-1)(a+1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3}$
Ответ: $\frac{20}{3}$

2)

Упростим выражение $(\frac{3a}{1-3a} + \frac{2a}{3a+1}) : \frac{6a^2+10a}{1-6a+9a^2}$.
Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель: $(1-3a)(3a+1)$.
$\frac{3a(3a+1)}{(1-3a)(3a+1)} + \frac{2a(1-3a)}{(1-3a)(3a+1)} = \frac{3a(3a+1) + 2a(1-3a)}{(1-3a)(3a+1)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{9a^2+3a+2a-6a^2}{1-9a^2} = \frac{3a^2+5a}{1-9a^2} = \frac{a(3a+5)}{1-9a^2}$
Теперь упростим делитель $\frac{6a^2+10a}{1-6a+9a^2}$. Разложим числитель и знаменатель на множители:
$6a^2+10a = 2a(3a+5)$
$1-6a+9a^2 = (1-3a)^2$ (по формуле квадрата разности)
Таким образом, делитель равен $\frac{2a(3a+5)}{(1-3a)^2}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{a(3a+5)}{1-9a^2} \cdot \frac{(1-3a)^2}{2a(3a+5)}$
Разложим знаменатель первой дроби $1-9a^2 = (1-3a)(1+3a)$:
$\frac{a(3a+5)}{(1-3a)(1+3a)} \cdot \frac{(1-3a)(1-3a)}{2a(3a+5)}$
Сократим общие множители $a$, $(3a+5)$ и $(1-3a)$:
$\frac{1-3a}{2(1+3a)}$
Ответ: $\frac{1-3a}{2(1+3a)}$

3)

Упростим выражение $(x^2-1) \cdot (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 1)$.
Сначала выполним действия в скобках. Приведем все члены к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$.
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{1(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1(x^2-1)}{x^2-1}$
Объединим числители:
$\frac{(x+1) - (x-1) - (x^2-1)}{x^2-1} = \frac{x+1-x+1-x^2+1}{x^2-1} = \frac{3-x^2}{x^2-1}$
Теперь умножим полученный результат на $(x^2-1)$:
$(x^2-1) \cdot \frac{3-x^2}{x^2-1}$
Сократим множитель $(x^2-1)$:
$3-x^2$
Ответ: $3-x^2$

4)

Упростим выражение $(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2}) \cdot (1 - \frac{a}{x}) \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3}$.
Заметим, что произведение первых двух множителей $(1 - \frac{a}{x})(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2})$ является формулой разности кубов $(b-c)(b^2+bc+c^2) = b^3-c^3$, где $b=1$ и $c=\frac{a}{x}$.
$(1 - \frac{a}{x})(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2}) = 1^3 - (\frac{a}{x})^3 = 1 - \frac{a^3}{x^3}$
Приведем полученное выражение к общему знаменателю:
$1 - \frac{a^3}{x^3} = \frac{x^3 - a^3}{x^3}$
Теперь умножим этот результат на третий множитель $\frac{x^3}{a^3 - x^3}$:
$\frac{x^3 - a^3}{x^3} \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3}$
Вынесем $-1$ за скобки в числителе первой дроби: $x^3 - a^3 = -(a^3 - x^3)$.
$\frac{-(a^3 - x^3)}{x^3} \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3}$
Сократим общие множители $x^3$ и $(a^3 - x^3)$:
$-1$
Ответ: $-1$