Номер 6.92, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.92–6.103 упростите выражения.

6.92. 1) $(\frac{a}{a+1} + 1) : (1 - \frac{3a^2}{1-a^2});$

2) $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5}$

3) $(\frac{a}{x-a} - \frac{a}{x+a}) \cdot \frac{x^2+2ax+a^2}{2a^2};$

4) $(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x}) : (\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}).$

1)

Для упрощения выражения $(\frac{a}{a+1} + 1) : (1 - \frac{3a^2}{1-a^2})$ выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $a+1$:

$\frac{a}{a+1} + 1 = \frac{a}{a+1} + \frac{a+1}{a+1} = \frac{a + a + 1}{a+1} = \frac{2a+1}{a+1}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $1-a^2$:

$1 - \frac{3a^2}{1-a^2} = \frac{1-a^2}{1-a^2} - \frac{3a^2}{1-a^2} = \frac{1-a^2-3a^2}{1-a^2} = \frac{1-4a^2}{1-a^2}$

3. Теперь выполним деление. Деление дробей эквивалентно умножению на обратную дробь:

$(\frac{2a+1}{a+1}) : (\frac{1-4a^2}{1-a^2}) = \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{1-a^2}{1-4a^2}$

4. Разложим числитель и знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$1-a^2 = (1-a)(1+a)$

$1-4a^2 = (1-2a)(1+2a)$

5. Подставим разложенные выражения в нашу дробь и сократим общие множители:

$\frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{(1-a)(1+a)}{(1-2a)(1+2a)} = \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{(1-a)(a+1)}{(1-2a)(2a+1)}$

Сокращаем $(2a+1)$ и $(a+1)$.

$\frac{\cancel{2a+1}}{\cancel{a+1}} \cdot \frac{(1-a)(\cancel{a+1})}{(1-2a)(\cancel{2a+1})} = \frac{1-a}{1-2a}$

Ответ: $\frac{1-a}{1-2a}$

2)

Упростим выражение $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5}$.

1. Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель равен $(2m-1)(2m+1)$:

$\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)^2}{(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$(2m+1)^2 - (2m-1)^2 = ((2m+1) - (2m-1))((2m+1) + (2m-1)) = (2m+1-2m+1)(2m+1+2m-1) = (2)(4m) = 8m$

Знаменатель является разностью квадратов: $(2m-1)(2m+1) = 4m^2-1$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{8m}{4m^2-1}$.

2. Упростим делитель, вынеся общий множитель в знаменателе:

$\frac{4m}{10m-5} = \frac{4m}{5(2m-1)}$

3. Выполним деление:

$\frac{8m}{4m^2-1} : \frac{4m}{5(2m-1)} = \frac{8m}{4m^2-1} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m}$

4. Разложим знаменатель $4m^2-1$ на множители и сократим дробь:

$\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m}$

Сокращаем $8m$ и $4m$ (остается 2 в числителе), а также $(2m-1)$:

$\frac{2 \cdot \cancel{4m}}{\cancel{(2m-1)}(2m+1)} \cdot \frac{5\cancel{(2m-1)}}{\cancel{4m}} = \frac{2 \cdot 5}{2m+1} = \frac{10}{2m+1}$

Ответ: $\frac{10}{2m+1}$

3)

Упростим выражение $(\frac{a}{x-a} - \frac{a}{x+a}) \cdot \frac{x^2+2ax+a^2}{2a^2}$.

1. Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(x-a)(x+a)$:

$\frac{a(x+a)}{(x-a)(x+a)} - \frac{a(x-a)}{(x-a)(x+a)} = \frac{a(x+a) - a(x-a)}{(x-a)(x+a)} = \frac{ax+a^2-ax+a^2}{x^2-a^2} = \frac{2a^2}{x^2-a^2}$

2. Упростим второй множитель. Числитель является полным квадратом суммы: $x^2+2ax+a^2 = (x+a)^2$.

Второй множитель равен $\frac{(x+a)^2}{2a^2}$.

3. Выполним умножение:

$\frac{2a^2}{x^2-a^2} \cdot \frac{(x+a)^2}{2a^2}$

4. Разложим знаменатель $x^2-a^2$ на множители и сократим:

$\frac{2a^2}{(x-a)(x+a)} \cdot \frac{(x+a)^2}{2a^2} = \frac{\cancel{2a^2}}{(x-a)\cancel{(x+a)}} \cdot \frac{(x+a)^{\cancel{2}}}{\cancel{2a^2}} = \frac{x+a}{x-a}$

Ответ: $\frac{x+a}{x-a}$

4)

Упростим выражение $(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x}) : (\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x})$.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое). Общий знаменатель $xy^2$:

$\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 \cdot x}{y^2 \cdot x} + \frac{y \cdot y^2}{x \cdot y^2} = \frac{x^3+y^3}{xy^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель). Общий знаменатель также $xy^2$:

$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{y^2 \cdot x} - \frac{1 \cdot xy}{y \cdot xy} + \frac{1 \cdot y^2}{x \cdot y^2} = \frac{x^2 - xy + y^2}{xy^2}$

3. Выполним деление:

$\frac{x^3+y^3}{xy^2} : \frac{x^2 - xy + y^2}{xy^2} = \frac{x^3+y^3}{xy^2} \cdot \frac{xy^2}{x^2 - xy + y^2}$

4. В числителе первой дроби используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

Подставим и сократим общие множители:

$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy^2} \cdot \frac{xy^2}{x^2-xy+y^2}$

Сокращаем $xy^2$ и $(x^2-xy+y^2)$:

$\frac{(x+y)(\cancel{x^2-xy+y^2})}{\cancel{xy^2}} \cdot \frac{\cancel{xy^2}}{\cancel{x^2-xy+y^2}} = x+y$

Ответ: $x+y$