Номер 6.86, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.86. Дано целое число $a+\frac{1}{a}$. Докажите, что числа $a^2+\frac{1}{a^2}$ и $a^3+\frac{1}{a^3}$ также целые.

По условию задачи, выражение $a + \frac{1}{a}$ является целым числом. Обозначим это число буквой $k$, где $k$ принадлежит множеству целых чисел ($k \in \mathbb{Z}$).

$a + \frac{1}{a} = k$

Доказательство для $a^2 + \frac{1}{a^2}$

Чтобы доказать, что $a^2 + \frac{1}{a^2}$ является целым числом, возведем в квадрат исходное выражение $a + \frac{1}{a}$:

$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$

С другой стороны, так как $a + \frac{1}{a} = k$, то $(a + \frac{1}{a})^2 = k^2$.

Приравняем правые части полученных равенств:

$k^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$

Теперь выразим искомое выражение $a^2 + \frac{1}{a^2}$:

$a^2 + \frac{1}{a^2} = k^2 - 2$

Поскольку $k$ — целое число, то его квадрат $k^2$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($k^2$ и 2) всегда является целым числом. Таким образом, мы доказали, что $a^2 + \frac{1}{a^2}$ — целое число.

Ответ: Число $a^2 + \frac{1}{a^2}$ является целым.

Доказательство для $a^3 + \frac{1}{a^3}$

Для доказательства того, что $a^3 + \frac{1}{a^3}$ является целым, возведем в куб исходное выражение $a + \frac{1}{a}$:

$(a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a^2(\frac{1}{a}) + 3a(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{a})^3$

Упростим выражение:

$(a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3}$

Сгруппируем слагаемые:

$(a + \frac{1}{a})^3 = (a^3 + \frac{1}{a^3}) + 3(a + \frac{1}{a})$

Мы знаем, что $a + \frac{1}{a} = k$. Подставим это значение в уравнение:

$k^3 = (a^3 + \frac{1}{a^3}) + 3k$

Выразим искомое выражение $a^3 + \frac{1}{a^3}$:

$a^3 + \frac{1}{a^3} = k^3 - 3k$

Поскольку $k$ — целое число, то $k^3$ и $3k$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел ($k^3$ и $3k$) всегда является целым числом. Таким образом, мы доказали, что $a^3 + \frac{1}{a^3}$ — целое число.

Ответ: Число $a^3 + \frac{1}{a^3}$ является целым.