Номер 6.79, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.79. Докажите, что при $x \neq y, x \neq 0, y \neq 0$ выражение $\frac{2}{xy} : \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)^2 - \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2}$ не зависит от значения переменных.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от переменных, необходимо его упростить. Проведем преобразования по действиям.

Исходное выражение: $ \frac{2}{xy} : \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)^2 - \frac{x^2 + y^2}{(x-y)^2} $

1. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y - x}{xy} $

2. Возведем результат в квадрат. Используем свойство $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $:

$ \left( \frac{y - x}{xy} \right)^2 = \frac{(y-x)^2}{(xy)^2} = \frac{(x-y)^2}{x^2y^2} $

3. Выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{2}{xy} : \frac{(x-y)^2}{x^2y^2} = \frac{2}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)^2} $

Сократим полученное выражение на $xy$:

$ \frac{2 \cdot x^2y^2}{xy \cdot (x-y)^2} = \frac{2xy}{(x-y)^2} $

4. Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{2xy}{(x-y)^2} - \frac{x^2 + y^2}{(x-y)^2} = \frac{2xy - (x^2 + y^2)}{(x-y)^2} = \frac{2xy - x^2 - y^2}{(x-y)^2} $

5. Преобразуем числитель, вынеся минус за скобку, чтобы получить формулу квадрата разности:

$ 2xy - x^2 - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2) = -(x-y)^2 $

6. Подставим преобразованный числитель обратно в дробь и сократим ее:

$ \frac{-(x-y)^2}{(x-y)^2} = -1 $

Сокращение возможно, так как по условию $x \neq y$, следовательно, $(x-y)^2 \neq 0$.

В результате упрощения мы получили число -1. Это константа, которая не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно -1 и не зависит от переменных.