Номер 6.82, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.82. 1) $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

2) $\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}$

3) $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2x}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2x^2}}$

4) $\frac{a - \frac{x^2}{a}}{x - \frac{a^2}{x}}$

1) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} $.
Чтобы избавиться от многоэтажности дроби, умножим ее числитель и знаменатель на наименьший общий знаменатель внутренних дробей, который равен $xy$.
$ \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \cdot xy}{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}) \cdot xy} = \frac{\frac{1}{x} \cdot xy + \frac{1}{y} \cdot xy}{\frac{1}{x} \cdot xy - \frac{1}{y} \cdot xy} = \frac{y + x}{y - x} $.
Ответ: $ \frac{y+x}{y-x} $

2) Исходное выражение: $ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}} $.
Умножим числитель и знаменатель дроби на наименьший общий знаменатель внутренних дробей, который равен $ab$.
$ \frac{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \cdot ab}{(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}) \cdot ab} = \frac{\frac{a}{b} \cdot ab + \frac{b}{a} \cdot ab}{\frac{a}{b} \cdot ab - \frac{b}{a} \cdot ab} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $.
Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $

3) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}}{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x^2}} $.
Сначала упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $ \frac{1}{x}-\frac{1}{2x} = \frac{2}{2x}-\frac{1}{2x} = \frac{2-1}{2x} = \frac{1}{2x} $.
Знаменатель: $ \frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x^2} = \frac{2}{2x^2}-\frac{1}{2x^2} = \frac{2-1}{2x^2} = \frac{1}{2x^2} $.
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x^2}} = \frac{1}{2x} \cdot \frac{2x^2}{1} = \frac{2x^2}{2x} = x $.
Ответ: $ x $

4) Исходное выражение: $ \frac{a-\frac{x^2}{a}}{x-\frac{a^2}{x}} $.
Представим числитель и знаменатель в виде обыкновенных дробей.
Числитель: $ a-\frac{x^2}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{x^2}{a} = \frac{a^2-x^2}{a} $.
Знаменатель: $ x-\frac{a^2}{x} = \frac{x \cdot x}{x} - \frac{a^2}{x} = \frac{x^2-a^2}{x} $.
Теперь выполним деление:
$ \frac{\frac{a^2-x^2}{a}}{\frac{x^2-a^2}{x}} = \frac{a^2-x^2}{a} \cdot \frac{x}{x^2-a^2} $.
Заметим, что $ a^2-x^2 = -(x^2-a^2) $. Подставим это в выражение и сократим:
$ \frac{-(x^2-a^2)}{a} \cdot \frac{x}{x^2-a^2} = \frac{- \cancel{(x^2-a^2)}}{a} \cdot \frac{x}{\cancel{x^2-a^2}} = -\frac{x}{a} $.
Ответ: $ -\frac{x}{a} $