Номер 6.75, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.75. 1) $\frac{9xy}{5ab} \cdot \frac{3ab}{4yz} \cdot \frac{4bz}{3axy}$;

2) $(\frac{2ax}{yz} : \frac{3bx}{ay}) : \frac{9b^2z}{8a^2x}$;

3) $(\frac{8b^2cd}{9a^5} : \frac{7cd}{12a^3}) \cdot \frac{28a^4}{3b^2}$;

4) $(\frac{3p^2mq}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8x^2y^2}) : \frac{9a^2b^2c^3}{28pxy}$.

1) Чтобы найти произведение дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Запишем все множители в одну дробь:
$ \frac{9xy}{5ab} \cdot \frac{3ab}{4yz} \cdot \frac{4bz}{3axy} = \frac{9xy \cdot 3ab \cdot 4bz}{5ab \cdot 4yz \cdot 3axy} $
Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные в числителе и знаменателе:
$ \frac{(9 \cdot 3 \cdot 4) \cdot (a \cdot b \cdot b \cdot x \cdot y \cdot z)}{(5 \cdot 4 \cdot 3) \cdot (a \cdot a \cdot b \cdot x \cdot y \cdot y \cdot z)} = \frac{108 \cdot ab^2xyz}{60 \cdot a^2bxy^2z} $
Сократим общие множители. Сначала сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{108}{60} = \frac{9 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{9}{5} $
Теперь сократим переменные. Можно сокращать одинаковые переменные в числителе и знаменателе:
$ \frac{\cancel{9} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{x} \cdot y \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot b \cdot \cancel{z}}{5 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{4} \cdot y \cdot \cancel{z} \cdot \cancel{3} \cdot a \cdot \cancel{x} \cdot y} = \frac{3b}{5ay} $
Ой, ошибка в сокращении. Давайте аккуратнее.
$ \frac{9 \cdot 3 \cdot 4 \cdot a \cdot b \cdot b \cdot x \cdot y \cdot z}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot y \cdot z \cdot a \cdot x \cdot y} = \frac{9 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot b \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y} \cdot \cancel{z}}{5 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{y} \cdot \cancel{z} \cdot a \cdot \cancel{x} \cdot y} = \frac{9b}{5ay} $
Ответ: $ \frac{9b}{5ay} $

2) Сначала выполним действие в скобках. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.
$ \frac{2ax}{yz} : \frac{3bx}{ay} = \frac{2ax}{yz} \cdot \frac{ay}{3bx} = \frac{2ax \cdot ay}{yz \cdot 3bx} = \frac{2a^2xy}{3bxyz} $
Сократим полученную дробь:
$ \frac{2a^2\cancel{x}\cancel{y}}{3b\cancel{x}\cancel{y}z} = \frac{2a^2}{3bz} $
Теперь выполним второе деление. Предположим, что в знаменателе последней дроби ($8a^2x_1$) имеется опечатка, и правильный вид знаменателя — $8a^2x$.
$ \frac{2a^2}{3bz} : \frac{9b^2z}{8a^2x} = \frac{2a^2}{3bz} \cdot \frac{8a^2x}{9b^2z} $
Перемножим числители и знаменатели:
$ \frac{2a^2 \cdot 8a^2x}{3bz \cdot 9b^2z} = \frac{16a^{2+2}x}{27b^{1+2}z^{1+2}} = \frac{16a^4x}{27b^3z^2} $
Ответ: $ \frac{16a^4x}{27b^3z^2} $

3) Сначала выполним деление в скобках, заменив его умножением на обратную дробь:
$ \frac{8b^2cd}{9a^5} : \frac{7cd}{12a^3} = \frac{8b^2cd}{9a^5} \cdot \frac{12a^3}{7cd} = \frac{8b^2cd \cdot 12a^3}{9a^5 \cdot 7cd} $
Сократим общие множители $c$, $d$ и $a^3$. Также сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{8b^2\cancel{cd} \cdot (4 \cdot 3)a^3}{(3 \cdot 3)a^5 \cdot 7\cancel{cd}} = \frac{8b^2 \cdot 4}{3a^{5-3} \cdot 7} = \frac{32b^2}{21a^2} $
Теперь выполним умножение на вторую дробь:
$ \frac{32b^2}{21a^2} \cdot \frac{28a^4}{3b^2} = \frac{32b^2 \cdot 28a^4}{21a^2 \cdot 3b^2} $
Сократим общие множители $b^2$ и $a^2$. Также сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{32\cancel{b^2} \cdot (4 \cdot \cancel{7})a^4}{(3 \cdot \cancel{7})a^2 \cdot 3\cancel{b^2}} = \frac{32 \cdot 4 \cdot a^{4-2}}{3 \cdot 3} = \frac{128a^2}{9} $
Ответ: $ \frac{128a^2}{9} $

4) Выполним умножение в скобках:
$ \frac{3p^2mq}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8x^2y^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot p^2 \cdot m \cdot q}{2 \cdot 8 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot x^2 \cdot y^2} = \frac{9abcp^2mq}{16a^2b^2x^2y^2} $
Сократим полученную дробь:
$ \frac{9\cancel{a}\cancel{b}cp^2mq}{16a^{\cancel{2}}b^{\cancel{2}}x^2y^2} = \frac{9cp^2mq}{16abx^2y^2} $
Теперь выполним деление:
$ \frac{9cp^2mq}{16abx^2y^2} : \frac{9a^2b^2c^3}{28pxy} = \frac{9cp^2mq}{16abx^2y^2} \cdot \frac{28pxy}{9a^2b^2c^3} $
Запишем всё в одну дробь и сократим:
$ \frac{\cancel{9}cp^2mq \cdot 28pxy}{16abx^2y^2 \cdot \cancel{9}a^2b^2c^3} = \frac{28 \cdot c \cdot p^2 \cdot m \cdot q \cdot p \cdot x \cdot y}{16 \cdot a \cdot b \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot c^3} $
Сократим числовые коэффициенты $ \frac{28}{16} = \frac{7}{4} $. Сгруппируем и сократим переменные:
$ \frac{7}{4} \cdot \frac{c \cdot m \cdot p^3 \cdot q \cdot x \cdot y}{a^3 \cdot b^3 \cdot c^3 \cdot x^2 \cdot y^2} = \frac{7mp^3q}{4a^3b^3c^{3-1}x^{2-1}y^{2-1}} = \frac{7mp^3q}{4a^3b^3c^2xy} $
Ответ: $ \frac{7mp^3q}{4a^3b^3c^2xy} $