Номер 6.74, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.74. 1) $\frac{ab^2 - ac^2}{2a + 8} \cdot \frac{3a + 12}{ab + ac}$;

2) $\frac{4x^2 - 25y^2}{x^3 + 8} : \frac{2x + 5y}{x^2 - 2x + 4}$;

3) $\frac{m^3 - n^3}{m + n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{m^2 + mn + n^2}$;

4) $\frac{p^2 + pq + q^2}{p - 1} : \frac{p^3 - q^3}{p^2 - 1}$.

1) $\frac{ab^2 - ac^2}{2a + 8} \cdot \frac{3a + 12}{ab + ac}$

Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей. Для этого будем выносить общие множители за скобки и использовать формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $ab^2 - ac^2 = a(b^2 - c^2) = a(b-c)(b+c)$ (вынесли общий множитель $a$ и применили формулу разности квадратов).

Знаменатель первой дроби: $2a + 8 = 2(a+4)$ (вынесли общий множитель 2).

Числитель второй дроби: $3a + 12 = 3(a+4)$ (вынесли общий множитель 3).

Знаменатель второй дроби: $ab + ac = a(b+c)$ (вынесли общий множитель $a$).

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$\frac{a(b-c)(b+c)}{2(a+4)} \cdot \frac{3(a+4)}{a(b+c)}$

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях. Мы можем сократить $a$, $(b+c)$ и $(a+4)$:

$\frac{\cancel{a}(b-c)\cancel{(b+c)}}{2\cancel{(a+4)}} \cdot \frac{3\cancel{(a+4)}}{\cancel{a}\cancel{(b+c)}} = \frac{b-c}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3(b-c)}{2}$

Ответ: $\frac{3(b-c)}{2}$

2) $\frac{4x^2 - 25y^2}{x^3 + 8} : \frac{2x + 5y}{x^2 - 2x + 4}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{4x^2 - 25y^2}{x^3 + 8} \cdot \frac{x^2 - 2x + 4}{2x + 5y}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $4x^2 - 25y^2 = (2x)^2 - (5y)^2 = (2x-5y)(2x+5y)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель первой дроби: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$ (формула суммы кубов).

Выражение $x^2 - 2x + 4$ является неполным квадратом разности и на множители не раскладывается.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{(2x-5y)(2x+5y)}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} \cdot \frac{x^2 - 2x + 4}{2x + 5y}$

Сократим одинаковые множители: $(2x+5y)$ и $(x^2 - 2x + 4)$.

$\frac{(2x-5y)\cancel{(2x+5y)}}{(x+2)\cancel{(x^2 - 2x + 4)}} \cdot \frac{\cancel{x^2 - 2x + 4}}{\cancel{2x + 5y}} = \frac{2x-5y}{x+2}$

Ответ: $\frac{2x-5y}{x+2}$

3) $\frac{m^3 - n^3}{m + n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{m^2 + mn + n^2}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$ (формула разности кубов).

Числитель второй дроби: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$ (формула разности квадратов).

Выражение $m^2 + mn + n^2$ является неполным квадратом суммы и на множители не раскладывается.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{m + n} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{m^2 + mn + n^2}$

Сократим одинаковые множители: $(m+n)$ и $(m^2 + mn + n^2)$.

$\frac{(m-n)\cancel{(m^2 + mn + n^2)}}{\cancel{m + n}} \cdot \frac{(m-n)\cancel{(m+n)}}{\cancel{m^2 + mn + n^2}} = (m-n)(m-n) = (m-n)^2$

Ответ: $(m-n)^2$

4) $\frac{p^2 + pq + q^2}{p-1} : \frac{p^3 - q^3}{p^2 - 1}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{p^2 + pq + q^2}{p-1} \cdot \frac{p^2 - 1}{p^3 - q^3}$

Разложим на множители, где это возможно.

Знаменатель второй дроби: $p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)$ (формула разности кубов).

Числитель второй дроби: $p^2 - 1 = p^2 - 1^2 = (p-1)(p+1)$ (формула разности квадратов).

Подставим разложенные выражения:

$\frac{p^2 + pq + q^2}{p-1} \cdot \frac{(p-1)(p+1)}{(p-q)(p^2 + pq + q^2)}$

Сократим одинаковые множители: $(p-1)$ и $(p^2 + pq + q^2)$.

$\frac{\cancel{p^2 + pq + q^2}}{\cancel{p-1}} \cdot \frac{\cancel{(p-1)}(p+1)}{(p-q)\cancel{(p^2 + pq + q^2)}} = \frac{p+1}{p-q}$

Ответ: $\frac{p+1}{p-q}$