Номер 6.80, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.80. Докажите тождество:

1) $\left(a - \frac{a^2 + x^2}{a + x}\right)\left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\right) = 2a$

2) $\frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{am^2 - 2amn + an^2}{3m + 3n} = \frac{3}{m - n}$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, выполнив действия по шагам.

Шаг 1: Упростим выражение в первой скобке, приведя его к общему знаменателю.

$a - \frac{a^2 + x^2}{a+x} = \frac{a(a+x)}{a+x} - \frac{a^2+x^2}{a+x} = \frac{a^2 + ax - (a^2+x^2)}{a+x} = \frac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a+x} = \frac{ax - x^2}{a+x} = \frac{x(a-x)}{a+x}$

Шаг 2: Упростим выражение во второй скобке, также приведя его к общему знаменателю.

$\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a-x} = \frac{2a(a-x)}{x(a-x)} + \frac{4ax}{x(a-x)} = \frac{2a^2 - 2ax + 4ax}{x(a-x)} = \frac{2a^2 + 2ax}{x(a-x)} = \frac{2a(a+x)}{x(a-x)}$

Шаг 3: Перемножим результаты, полученные на шагах 1 и 2.

$\left(\frac{x(a-x)}{a+x}\right) \cdot \left(\frac{2a(a+x)}{x(a-x)}\right) = \frac{x(a-x) \cdot 2a(a+x)}{(a+x) \cdot x(a-x)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $x$, $(a-x)$ и $(a+x)$. В результате получаем:

$2a$

Левая часть выражения равна $2a$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала заменим операцию деления на умножение на обратную дробь.

$\frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{am^2 - 2amn + an^2}{3m + 3n} = \frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} \cdot \frac{3m + 3n}{am^2 - 2amn + an^2}$

Далее, разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Числитель первой дроби: $am^2 - an^2 = a(m^2 - n^2) = a(m-n)(m+n)$.

Знаменатель первой дроби: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.

Числитель второй дроби (в перевернутом виде): $3m + 3n = 3(m+n)$.

Знаменатель второй дроби (в перевернутом виде): $am^2 - 2amn + an^2 = a(m^2 - 2mn + n^2) = a(m-n)^2$.

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{a(m-n)(m+n)}{(m+n)^2} \cdot \frac{3(m+n)}{a(m-n)^2}$

Объединим дроби и сгруппируем множители:

$\frac{3a(m-n)(m+n)(m+n)}{a(m-n)^2(m+n)^2} = \frac{3a(m-n)(m+n)^2}{a(m-n)^2(m+n)^2}$

Сократим общие множители $a$, $(m-n)$ и $(m+n)^2$:

$\frac{3 \cdot \cancel{a} \cdot (m-n) \cdot \cancel{(m+n)^2}}{\cancel{a} \cdot (m-n)^2 \cdot \cancel{(m+n)^2}} = \frac{3(m-n)}{(m-n)^2} = \frac{3}{m-n}$

Левая часть выражения равна $\frac{3}{m-n}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.